He leído a algunos autores a decir que la clase de todos los Riemann integrable funciones es "muy pequeño". ¿En qué sentido? ¿Cómo podemos demostrar esta afirmación?
Respuestas
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Hay un número de posibles formas de visualización de esta declaración. Uno podría decir que es pequeño, en el sentido de la cardinalidad. Esto no es cierto: el indicador de función de cualquier subconjunto del estándar del conjunto de Cantor es Riemann integrable, y hay muchas de estas funciones, ya que hay un valor real de las funciones de variables reales. (Un interesante corolario: hay Riemann integrable funciones que no son Borel medible.)
El más simple punto de vista correcto en el que puedo pensar es como sigue. Primero, considere el espacio de $R_0[a,b]$, que consta de todos los $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ de manera tal que las integrales de Riemann $\int_a^b f(x) dx$ $\int_a^b |f(x)| dx$ ambos existen como finito de números. Este es un pseudonormed espacio vectorial. Para hacerlo normativa, considere el espacio de $R[a,b]$, que es el cociente de $R_0[a,b]$ por el subespacio de funciones con $\int_a^b |f(x)| dx = 0$. Finalmente tome la finalización de $R[a,b]$. Esta conclusión es (isomorfo a) el espacio de Lebesgue $L^1([a,b])$. Ya que hay Lebesgue integrable funciones que no son Riemann integrables, se deduce que el $R[a,b]$ es incompleta. De hecho, en un sentido es "muy" incompleta, en la que hay una gran cantidad de Lebesgue integrable funciones que no son Riemann integrables, o incluso de la "esencia" de Riemann integrable (es decir, Riemann integrable después de una modificación en un conjunto de medida cero).
Un ejemplo concreto de este último punto: $f_n(x)=x^{-1/2}$ $x \in [1/n,1]$ $0$ lo contrario es de Cauchy, ya que converge en $L^1$ a un Lebesgue integrable función, pero no converge a un elemento de $R[0,1]$, ya que el límite no es esencialmente limitado.
Guest
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Aquí tenemos dos formas de estado.
Reivindicación 1: Vamos a $B$ ser el espacio de Banach de todos los delimitadas las funciones de la unidad de intervalo bajo pointwise adición, la multiplicación escalar y sup norma: $\|f\| = \sup \{|f(x)| : x \in [0, 1]\}$. Luego, la clase de Riemann integrable (o incluso Lebesgue integrable) funciones en $B$ es de primera categoría (de hecho, es incluso cerrado ningún lugar densa).
Reivindicación 2: Deje $L$ ser el espacio de Banach de todos los delimitada Lebesgue integrable funciones en la unidad de intervalo bajo pointwise adición, la multiplicación escalar y sup norma: $\|f\| = \sup \{|f(x)| : x \in [0, 1]\}$. Luego, la clase de Riemann integrable funciones en $B$ es de primera categoría (de hecho, incluso cerrado ningún lugar densa).
La elección de la norma en la Reivindicación 2 es flexible. Usted puede usar una $L^1$-norma y la declaración sigue siendo cierto.
G M
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Por ejemplo, la función de $f:[0,1]\to\mathbb R$ definido por $f(x)=1, x\in [0,1]\setminus \mathbb Q $$f(x)=0, x\in \mathbb Q$. A continuación, $f$ no es Riemann integrable, porque cada pequeña Darboux suma es $0$ y todos los grandes Darboux suma es $1$. Ahora, si cambia el valor de algunos irracionales $x$ $1$ a algo más que conseguir otra función que no es Riemann integrable. De la misma manera usted puede obtener una cantidad no numerable de funciones que no son integrables. Esto puede dar una idea, pero definitivamente no en términos de la cardinalidad. En otras palabras, una función de Riemann integrable, se tiene que tener en la mayoría de un conjunto de discontinuidades con medida de Lebesgue $0$ (esto también es suficiente).
user2566092
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Una de Riemann integrable función debe tener un conjunto de discontinuidades de medida de 0. Y el conjunto de todas las funciones continuas tienen el mismo tamaño de ${\mathbb R}$, que es, definitivamente, la más pequeña (en el sentido de tamaños de infinito) que el conjunto de todas las funciones de${\mathbb R}$${\mathbb R}$. Así que si pones que en conjunto, conseguir que el conjunto de funciones integrables es definido por un conjunto de funciones continuas (de menor tamaño infinito), combinado con los conjuntos de medida cero de discontinuidades (no menor en el sentido de que el tamaño de los infinitos, pero pequeña en el sentido de la medida).
