Qué $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}$ existe o no existe?

Question

¿Este diestro límite existe o no existe? $$\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}$$

Schaum del Esquema Fácil de Cálculo (Segunda Edición) dice que hace. Y no.

Un ejemplo en el libro de los estados:

La función de $f(x)=\sqrt{x}$; a continuación, $f$ sólo se define a la derecha del cero.

Bien. Por lo que el diestro límite no existe.

Por lo tanto, $\lim_{x\to 0} \sqrt{x}=\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}=0$.

Bien. Todavía estoy con usted. El límite es de $0$.

Por supuesto, $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}$ no existe,...

Qué, Señor Fawlty?

... desde $\sqrt{x}$ no está definida cuando $x<0$.

Bueno, así son ellos meterse conmigo? Es mi café demasiado débil? Demasiado fuerte? Hay algunas sutiles de la verdad acerca de los límites que se me escapa?

O que es un error tipográfico? ¿Que significan en la última línea para omitir el '$+$ ''$0$ " y escribir "por supuesto, $\lim_{x\to 0} \sqrt{x}$ no existe,..."?

EDITAR:
Creo que un signo menos es la intención en lugar de un signo más de que el último límite.

Answer 1

Ambos $$ \lim_{x\to 0} \sqrt{x} \quad \text{y}\quad \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x} $$ existen. En general, para una función de $f$ dominio $D(f)$, recordemos la definición de la $$ \lim_{x\a} f(x) = L. $$ La definición dice que esto significa que: Para todos los $\epsilon >0$ no es un porcentaje ($\delta >0$ que si $x\in D(f)$$0<\lvert x - a \rvert < \delta$$\lvert f(x) - L\rvert<\epsilon$. A menudo no escribimos en el requisito de que $x$ estar en el dominio de $f$, pero este es un requisito.

Asimismo, la mano derecha límite existe.

Consulte este artículo de la Wikipedia para más información sobre esto: https://en.wikipedia.org/wiki/%28%CE%B5,_%CE%B4 29-definition_of_limit#Precise_statement

Answer 2

Sí existe, como se puede comprobar por $\varepsilon$-análisis.

De tomar cualquier $\varepsilon > 0$, $\sqrt{x} < \varepsilon$ si $0 < x < \varepsilon^{2}$.