Racionalizar el denominador 3

Question

Es una pregunta muy difícil. ¿Cómo podemos Racionalizar el denominador? $$\frac{2^{1/2}}{5+3*(4^{1/3})-7*(2^{1/3})}$$

Answer 1

Su denominador es un polinomio en a $x = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$, es decir, se puede escribir como $5 - 7x + 3x^2$. Yo uso $x$ por simplicidad (algo matemáticos muy a menudo), por lo que en todas partes se ve uno puede cambiar por $2^{1/3}$ si te gusta.

Queremos un polinomio $p(x)$, de modo que $(5 - 7x + 3x^2)\cdot p(x)$ es sólo racional término constante. Vamos a conseguir que por la utilización de ese $x^3 = 2$$x^4 = 2x$. Esto también significa que $p(x)$ no necesita ser más que un segundo grado del polinomio (fuera de cualquier grado superior, se podría tomar cualquier grado mayor plazo y reducir por tres grados de $x^3 = 2$).

Así que vamos a escribir una tentativa $p(x) = a + bx + cx^2$. Tenemos $$ (5 - 7x + 3x^2)\cdot p(x) = 5a + (5 - 7a)x + (5c - 7b + 3a)x^2 + (-7c + 3b)x^3 + 3cx^4\\ = 5a - 14c + 6b + (5-7a + 6c)x + (5c - 7b + 3a)x^2 $$ (Tenga en cuenta que $(-7c + 3b)$ $3c$ duplica cuando me mudé con ellos tres grados. Que la duplicación de la trata de $x^3 = 2$. Si usted va a hacer esto para las otras raíces cúbicas, por ejemplo,$3^{1/3}$, usted tendrá que multiplicar por algo más, por ejemplo,$3$.) Este polinomio se supone que es sólo un término constante, por lo que debemos tener $$ 5b - 7a + 6c = 0 \quad \de la tierra \quad 5c - 7b + 3a = 0 $$ Desde válido para cualquier polinomio $p(x)$ también contamos $k\cdot p(x)$ válido para una racional $k$, podemos dejar que la $k = \frac{1}{c}$, y se supone que $c = 1$. A continuación, obtener $$ 7a - 5b = 6 \quad \de la tierra \quad 7b - 3a = 5 $$ con las soluciones $$ b = \frac{53}{34}\quad a= \frac{67}{34} $$ por lo que el polinomio $$ p(x) = \frac{67}{34} + \frac{53}{34}x + x^2 $$ obras. Esto no es tan bonito, a pesar de que, por lo que se multiplican por $34$ para obtener $$ 34\cdot p(x) = 67 + 53x + 34x^2 = 67 + 53\cdot 2^{1/3} + 34\cdot 4^{1/3} $$ Así que eso es lo que tenemos que ampliar la fracción para obtener una racional denominador (el denominador pasa a convertirse $177$, pero ese no es el importante parte de este ejercicio).

Answer 2

$\frac1{A+B\sqrt[3]{n}+C\sqrt[3]{n^2}}= \frac{ \begin{vmatrix} 1&\sqrt[3]n&\sqrt[3]{n^2}\\ B&A&Cn\\ C&B&A \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} A&Cn&Bn\\ B&A&Cn\\ C&B&A \end{vmatrix}}= \frac{A^2-BCn+(C^2n-AB)\sqrt[3]{n}+(B^2-AC)\sqrt[3]{n^2}} {A^3+B^3n+C^3n^2-3ABCn}$