relación entre la suma de los cuadrados y la suma

Question

Tengo que admitir que yo no soy bueno en matemáticas, ya que ha sido un tiempo desde que hice la última problema de matemáticas. Estoy trabajando en un proyecto donde hay un problema que se puede resumir así:

si $\sum_{i=1}^{n}a_i^2 = x$, podemos determinar una superior y/o inferior) que se dirijan a $\sum_{i=1}^{n}|a_i|$ ?

Lo siento si esto es demasiado simple para usted, le agradezco su ayuda!

PS: Gracias por toda la ayuda que me dieron! Me doy cuenta de que necesito saber los límites superiores para ambos $\sum_{i=1}^{n}|a_i|$ y el individuo $|a_i|$. Entonces, ¿cuál es la mejor cota superior para $|a_i|$ puedo conseguir? Gracias de nuevo.

Answer 1

Ambas sumas son normas, $\lVert. \rVert_2$ vs $\lVert . \rVert_1$ y gracias a la norma de equivalencia para finito dimensionales espacios existen factores que cumplir $$ m \lVert un \rVert_2 \le \lVert un \rVert_1 \le M \lVert un \rVert_2 $$ Así que, habiendo $\lVert a \rVert_2^2 = x$ tenemos $$ m \sqrt{x} \le \lVert un \rVert_1 \le M \sqrt{x} $$ para$m =1$$M = \sqrt{n}$.

Answer 2

Usted puede utilizar el AQM la desigualdad: $$\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^n\lvert a_i\rvert}n \le \sqrt{\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^n a_i^2}n}=\sqrt{\frac xn}, \enspace\text{whence}\enspace \displaystyle\sum_{i=1}^n\lvert a_i\rvert\le\sqrt{nx\mathstrut}.$$

Answer 3

Afortunadamente para usted, resulta que $\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2 } \leq \sum_{i=1}^n |a_i| \leq \sqrt{n} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2 }$

Para obtener más información sobre esto, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(matemáticas)