Creo que la respuesta es, sí, la gráfica puede ser conectado.
Por definición, si el grafo G no está conectado, entonces podemos encontrar disjuntos no vacíos abrir los conjuntos a y B, tales que G está contenida en Una unión B. En particular, esto implica ningún punto G puede estar contenida en la frontera de A. Así que si podemos construir un aditivo de la función f cuya gráfica se cruza el límite de cualquier posible separar conjunto abierto Una, te han demostrado que el gráfico está conectado.
Antes de la construcción de esta función, se nota un punto de vista técnico. No abrir todos los conjuntos son candidatos para la separación de G. Si G = A unión B para no vacío abrir los conjuntos a,B, entonces las proyecciones proj(A) y proj(B) en el eje x son abiertos, y deben intersectarse. A su vez, esto implica la proyección de los límites de Una contiene un intervalo. Convocatoria abierta se establece con la propiedad "candidato conjuntos".
Para hacer que una función f cuya gráfica se cruza el límite de todos los posibles conjuntos, considere la posibilidad de una base de H a R como un espacio vectorial sobre Q. Este conjunto tiene cardinalidad de los reales. Ahora tenga en cuenta que el conjunto de todos los conjuntos en R^2 también tiene cardinalidad de los reales. (http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum)
Poner estos dos conjuntos (base H, todos los bloques abiertos) en correspondencia 1-1, por lo que para cada uno de h en H, tenemos un conjunto abierto O(h). Si O(h) no es un "candidato" que sea f(h)=0. De otra manera, utilizando el hecho de que O(h) es un conjunto candidato, siempre podemos encontrar un valor distinto de cero racionales q, y un real y tal que (qh,y) está en el límite de O(h). Definir f(qh)=y. Hacer esto para todos los elementos de H determinará un único aditivo de la función f en los reales.
La gráfica de f, por construcción, se conecta desde que se cruza el límite de cada candidato separar conjunto abierto en R^2. (Y no es continuo--si lo fuera, perdería los límites de un montón de bloques abiertos!)
