Mostrando que $f(x) = x^3$ es inyectiva?

Question

Este es mi intento. ¿Es lo correcto? Hay una forma más simple? Hay una manera que depende de menos el conocimiento de fondo?

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Una función es inyectiva si $f(x) = f(y) \implies x = y$. Esto es equivalente a $x \not = y \implies f(x) \not = f(y)$. Vamos a demostrar esta última afirmación por la contradicción:

Supongamos que hay dos números $x$, $x+a$ con $a >0$ $x \not = x+a$ pero $x^3 = (x+a)^3$. La expansión de la RHS, restando $x^3$, y dividiendo ambos lados por $a>0$ rendimientos $0 = 3x^2 + 3xa + a^2$. Tomando esta última ecuación como una ecuación cuadrática en $x$, tiene una solución real si el discriminante es negativo. Pero el discriminante es $9a^2 - 12a^2 = -3a^2$, por lo que no hay real $x$ que satisfacer $x^3 = (x+a)^3$.

Answer 1

Yo podría decir $a\ne 0$ en lugar de $a>0$ sólo por una buena simetría, pero eso es puramente estético, su respuesta es buena. Una alternativa es dejar que $x\ne y$ y considerar

$$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$$

A continuación, por el AM-GM de la desigualdad, $x^2+y^2 > 2|xy|>|xy|$--estricto porque en $x\ne y$--así que la única manera de que esta diferencia se $0$ si $x=y$.

Answer 2

Supongamos que $$x^3=y^3$$ then $$(x-y)(y^2+xy+x^2)=0$$ so either $x=y$ or $$x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac {3y^2}4=0$$

Pero esto es estrictamente de no negativo y es cero sólo si $x=y=0$

Answer 3

Hay una manera que depende de menos el conocimiento de fondo?

Sí, no es (probablemente el más elemental, que se basa esencialmente en la monotonía de la multiplicación):

Reivindicación 1. Si $x\neq 0$, $y\neq 0$ y $x^3=y^3$ $x$ $y$ tienen el mismo signo.

Prueba: Supongamos que $x^3=y^3$$x>0$$y<0$. Entonces $$0<x^3=y^3=(-1)^3(-y)^3<0,$$ lo cual es una contradicción. $\square$

Reivindicación 2: $f(x)=x^3$ es inyectiva.

Prueba: tenga en cuenta que $x^3=xxx\neq 0$ todos los $x\neq 0$$0^3=0$. Por lo tanto, si $f(x)=x^3$ no es inyectiva, entonces existen dos números reales $x$ $y$ tal forma que:

• $x\neq 0$, $y\neq0$

• $x\neq y$

• $x^3=y^3$

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $x<y$. De ello se deduce a partir de la Reivindicación 1 que $0<x<y$ o $0>y>x$. Así $$x^3=xxx<yyy=y^3$$ lo cual es una contradicción. $\square$

Observación. Tenga en cuenta que esta prueba se basa en los siguientes hechos elementales:

• $a<b \text{ and }c>0\quad \Longrightarrow \quad ac<bc$
• $a<b \text{ and }c<0\quad \Longrightarrow \quad ac>bc$
• $ab=0\quad \Longrightarrow \quad a=0\text{ or }b=0$
• $-a=(-1)a\text{ and } -(-a)=a$
• $ab=ba$
• $0^2=0$
• $(-1)^2=1$
• $-1<0$