Un mínimo de subbases para el canónica de la topología en $\mathbb{R}$?

Question

Pensamientos: Sé que cada base canónica de la topología puede ser reducido. Así que supongo que tal vez canónica de la topología de no tener una mínima base? Sería posible usar el hecho de que cada base canónica de la topología en $\mathbb{R}$ no es mínima? O podemos tratar directamente con subbases?

Si tomamos el canónica de la topología en $\mathbb{R}$, a continuación, una subbase para canónica de la topología sería la colección de conjuntos de $(-\infty,b)$ $(a,\infty)$ donde $a,b\in\mathbb{R}$. Llamar a esta colección de $\Delta$. Entonces es fácil ver que siempre podemos tomar un elemento porque si tomamos $(-\infty,x)$ algunos $x\in\mathbb{R}$, entonces cada $(a,x)$ cualquier $a\in\mathbb{R}$ es todavía una unión de elementos en la colección de todas las intersecciones finitas de $\Delta\backslash\{(-\infty,x)\}$ . De manera inductiva vemos que subbases de el formulario de arriba siempre puede ser reducido.

Así que mi corazonada es que, en general, no hay un mínimo de subbase para la canónica de la topología en $\mathbb{R}$. Pero no estoy seguro de que aunque. Es posible construir un mínimo de subbase?

Answer 1

Como cuestión de hecho, que no tienen un mínimo de subbase.

Deje $B_1,B_2,\dots$ enumerar la colección de todos los intervalos, con racional de los extremos, de longitud inferior a $1$.

Definir un bijection $f:\mathbb N\to\mathbb Z$, de modo que $B_n\cap[f(n),f(n)+2]=\emptyset$ por cada $n\in\mathbb N$.

Para cada una de las $n\in\mathbb N$ definir un conjunto $S_n\supset B_n$ como sigue:

• si $B_n\cap\mathbb Z=\emptyset$,$S_n=B_n\cup\left(f(n)-\frac12,f(n)+\frac12\right)$;
• si $B_n\cap\mathbb Z=\{m\}$,$S_n=B_n\cup\left(f(n)-\frac12,f(n)+\frac12\right)\cup(m+1,m+2)$.

En primer lugar, voy a demostrar que $\mathcal S$ es una subbase para $\tau$, la topología usual de $\mathbb R$. Claramente, los elementos de $\mathcal S$ están abiertas en $\tau$. Deje $\mathcal S^*$ ser la colección de todas las intersecciones finitas de elementos de $\mathcal S$. Deje $x\in\mathbb R$$\varepsilon\gt0$; tengo que encontrar un conjunto $S\in\mathcal S^*$ tal que $x\in S\subseteq(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$. Elija $i,j\in\mathbb N,i\ne j,$, de modo que$$x\in B_i\subseteq(x-\varepsilon,x+\varepsilon),\ B_i\cap(\mathbb Z\setminus\{x\})=\emptyset,$$$$x\in B_j\subseteq(x-\varepsilon,x+\varepsilon),\ B_j\cap(\mathbb Z\setminus\{x\})=\emptyset.$$

Caso I, $x\notin\mathbb Z$. A continuación,$B_i\cap\mathbb Z=B_j\cap\mathbb Z=\emptyset$, lo $S_i=B_i\cup\left(f(i)-\frac12,f(i)+\frac12\right)$$S_j=B_j\cup\left(f(j)-\frac12,f(j)+\frac12\right)$. Deje $S=S_i\cap S_j\in\mathcal S^*$; a continuación,$$x\in B_i\cap B_j\subseteq S\subseteq B_i\cup B_j\subseteq(x-\varepsilon,x+\varepsilon).$$

Caso II, $x\in\mathbb Z$. A continuación,$B_i\cap\mathbb Z=B_j\cap\mathbb Z=\{x\}$, por lo que$$S_i=B_i\cup\left(f(i)-\frac12,f(i)+\frac12\right)\cup(x+1,x+2),$$$$S_j=B_j\cup\left(f(j)-\frac12,f(j)+\frac12\right)\cup(x+1,x+2),$$$$x\in S_i\cap S_j\subseteq B_i\cup B_j\cup(x+1,x+2)\subseteq(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cup(x+1,x+2).$$Choose $k\in\mathbb N$ so that $f(k)=x$, and let $S=S_i\cap S_j\cap S_k\in\mathcal S^*$. Since $x\in S_k$ and $S_k\cap(x+1,x+2)=\emptyset$, we have $x\in S\subseteq(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$.

Por último, voy a demostrar que $\mathcal S$ es un mínimo de subbase para $\tau$. Observar que, si $m\in\mathbb Z$$m\in S_n$, entonces cualquiera de las $m\in B_n$ (y por lo $(m+1,m+2)\subset S_n$) o $m=f(n)$. Por lo tanto, si $\mathcal S'=\mathcal S\setminus\{S_n\}$ algunos $n\in\mathbb N$, y si establecemos $m=f(n)$, (recordando que $f$ es un bijection) cada elemento de a $\mathcal S'$ que contiene el punto de $m$ también contiene el intervalo de $(m+1,m+2)$. Por lo tanto la topología generada por $\mathcal S'$ no contiene todos los habituales de los barrios de el punto de $m$.

P. S. de Acuerdo a este artículo por el P. van Emde Boas, cada espacio métrico tiene una mínima base para su topología.