Demuestra que $x^{8}+5x^{2}=1$ tiene exactamente $2$ verdaderas raíces

Question

¿Cómo podemos demostrar que $x^{8}+5x^{2}=1$ tiene exactamente $2$ ¿Raíces reales?

Answer 1

Obsérvese que el lado izquierdo es par y estrictamente creciente en $[0, \infty).$ Si dejamos que $f(x) = LHS,$ entonces $f(0) = 0$ y $f(1) = 6,$ por lo que por el teorema del valor intermedio, existe $x\in(0,1)$ tal que $f(x) = 1.$ Entonces $f(-x) = 1$ también, y esas son tus dos raíces.

Answer 2

Pista: La regla de los signos de Descartes

Answer 3

Sea $f(x)=x^8+5x^2-1$ .

Si $f$ tiene al menos $3$ raíces reales entonces $f''(x)=56x^6+10$ tendrá al menos $1$ raíz real ↯.

Desde $f(0)<0<f(1), \ f$ tiene exactamente dos raíces reales (polinomio de grado par).

Answer 4

¿Qué te parece esto? Diferenciar. Ves que $f'(x)$ sólo tiene una raíz $(x=0)$ y por lo tanto, hay un máximo de 1 punto extremo. Como f es continua, calculamos $f(-5)$ , $f(0)$ y $f(5)$ y utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que hay exactamente 2 raíces reales.

Answer 5

Sea $f(x)= x^8$ y $g(x)= 1- 5x^2$ analicemos las soluciones de $x^8=1-5x^2$ es decir . $f(x)=g(x)$ .

Véanse los gráficos siguientes:

$f(x)$ es siempre cóncava hacia arriba y $g(x)$ es siempre cóncava hacia abajo (comprueba las segundas derivadas de ambas funciones). Como $f(0)=0$ (mínimo global de f(x)) , $g(0) = 1$ (máximo global de g(x)) y ambas funciones son pares y continuas habrá dos soluciones a $f(x) = g(x)$ .