¿Cuál es la motivación de la conjugación compleja?

Question

Llevo varios años trabajando con números complejos. Pero cuando he intentado pensar en la motivación de la conjugación compleja, no estaba seguro. Permítanme escribir lo que estoy trabajando.

Para un número complejo $z \in\mathbb{C}$ , donde $z=\operatorname{Re}z+i\cdot \operatorname{Im}z$ definimos conjugado complejo de $z$ como $$ \overline{z} = \operatorname{Re}z-i\cdot \operatorname{Im}z. $$ Observando los números complejos en el plano de Gauss, esta operación es simétrica alrededor del $x$ -eje.

Pregunta ¿Hay alguna motivación general por la que lo hagamos? (Y después de leer el resto de la pregunta, ¿es la motivación que he proporcionado la derecho (¿o hay otros?)

He estudiado álgebra lineal, así que conozco la involución, y los adjuntos/autoadjuntos, donde la conjugación compleja es un ejemplo muy bonito. Mi conjetura es que esto viene del hecho de las raíces de los polinomios, donde en el caso cuadrático, tenemos

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$ y las soluciones $$ x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $$ Y cuando $b^2-4ac < 0$ entonces $\sqrt{b^2-4ac}$ se convierte en imaginario \begin{align} \sqrt{(-1)\vert b^2-4ac\vert}=\sqrt{(-1)}\sqrt{\vert b^2-4ac\vert}=i\sqrt{\vert b^2-4ac\vert} \end{align} Y obtenemos las soluciones $$ x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{\vert b^2-4ac\vert}}{2a} $$ que sólo difieren en el signo que precede a la parte imaginaria. También en el caso general, siempre que $z$ es la raíz de $p$ entonces $\overline{z}$ también es raíz de $p$ . Por lo tanto, la creación de la operación $\overline{\hphantom{a}\cdot\hphantom{a}}$ está justificado.

Answer 1

Una de las motivaciones, si se puede llamar así, es que $i^2=-1$ hace no definir $i$ porque $-i$ también satisface esa ecuación.

Por lo tanto, hay dos elementos que podrían ser $i$ y no hay ninguna razón algebraica para elegir una sobre la otra. En otras palabras, $\pm i$ son intercambiables, de ahí la conjugación.

Técnicamente, intercambiable significa que hay un $\mathbb R$ -automorfismo de $\mathbb C$ intercambiando $i$ y $-i$ .

Answer 2

Si $f(x)$ es un polinomio con coeficientes reales, y $z \in \mathbb C$ es una raíz de $f$ entonces $\overline{z}$ también es una raíz de $f$ En otras palabras, la conjugación compleja actúa sobre las raíces de $f$ y podemos separar las raíces de $f$ en órbitas según esta acción. Una órbita es una raíz con $z = \overline{z}$ es decir, una raíz real, o un par $\{z, \overline{z}\}$ que consiste en un número complejo no real y su conjugado complejo. Si $z_1, \dots, z_k$ son las raíces reales y $\{w_1, \overline{w_1}\}, \dots, \{w_r, \overline{w_r}\}$ son los pares de raíces complejas conjugadas de $f$ se deduce que $f$ factores como

$$f(x) = c \big((x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_k)\big) \times \big((x^2-2\Re w_1 + |w_1|^2\big)\cdots(x^2-2\Re w_r + |w_r|^2\big))$$

Todos los polinomios tienen coeficientes reales.

Así vemos que todo polinomio con coeficientes reales es un producto de factores lineales y factores cuadráticos, en todos los números reales. Todo ello gracias a la existencia de la conjugación compleja.

Answer 3

La razón es también para adquirir inversos y hacer la división $$\frac{z}{q}=\frac{z\bar{q}}{q\bar{q}}=\frac{z\bar{q}}{|q|^2}$$ Dónde se consigue $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$

Answer 4

Después de definir la suma y la multiplicación, es habitual definir la división de dos números complejos. Supongamos, $u=m+i⋅n$ y $v=p+i⋅q$ . Y ya hemos definido la multiplicación entre dos números complejos. Por lo tanto, para resolver esta cuestión una forma es hacer esta división en una multiplicación. Por la experiencia de tratar con surds, aquí podemos intentar que el denominador sea un número real y para mantener la igualdad tenemos que multiplicarlo también en el numerador. $$uv=\frac{(m+i⋅n)}{(p+i⋅q)}=\frac{(m+i⋅n)⋅(p−i⋅q)}{(p+i⋅q)(p−i⋅q)}$$ Aquí y más adelante puedes ver lo importante que es definir el número $(p−i⋅q)$ que corresponde a $v=(p+i⋅q)$ como, $\bar{v}$ .

Creo que esto será satisfactorio para usted. No dude en pedir más aclaraciones.