Patrón inusual en la distribución de los primos Impares

Question

Recientemente he observado un patrón inusual en la distribución de los primos Impares.

Cada uno de los siguientes conjuntos contiene aproximadamente la mitad de todos los primos de impar:

• $A_n=\{4k+1: 0\leq k\leq n\}=\{1,5,9,13,\dots,4n+1\}$
• $B_n=\{4k+3: 0\leq k\leq n\}=\{3,7,11,15,\dots,4n+3\}$
• $C_n=\{6k+1: 0\leq k\leq n\}=\{1,7,13,19,\dots,6n+1\}$
• $D_n=\{6k+5: 0\leq k\leq n\}=\{5,11,17,23,\dots,6n+5\}$

Más concretamente:

• Dejemos que $P(S)$ denotan el número de primos Impares en el conjunto $S$
• Dejemos que $\pi(x)$ denotan el número de primos Impares menores que $x$

Entonces, para cada valor suficientemente grande de $n$ :

• ${P(A_n)}\approx{P(B_n)}\approx\frac12\pi(4n+4)$
• ${P(C_n)}\approx{P(D_n)}\approx\frac12\pi(6n+6)$

Ahora bien, todo esto es bastante fácil de observar (aunque probablemente no sea tan fácil de demostrar).

A continuación, los siguientes hechos son obvios para cualquier tamaño suficientemente grande $n$ también:

• ${P(A_n)}\leq{P(B_n)}\implies{P(A_n)}\leq\frac12\pi(4n+4)\leq{P(B_n)}$
• ${P(A_n)}\geq{P(B_n)}\implies{P(A_n)}\geq\frac12\pi(4n+4)\geq{P(B_n)}$
• ${P(C_n)}\leq{P(D_n)}\implies{P(C_n)}\leq\frac12\pi(6n+6)\leq{P(D_n)}$
• ${P(C_n)}\geq{P(D_n)}\implies{P(C_n)}\geq\frac12\pi(6n+6)\geq{P(D_n)}$

Esto se debe a que $A_n$ y $B_n$ así como $C_n$ y $D_n$ son "complementarios" entre sí:

• El conjunto ${A_n}\cap{B_n}$ está vacío, y el conjunto ${A_n}\cup{B_n}$ contiene todos los primos Impares menores que $4n+4$
• El conjunto ${C_n}\cap{D_n}$ está vacío, y el conjunto ${C_n}\cup{D_n}$ contiene todos los primos Impares menores que $6n+6$

---

Sin embargo, para casi todos los valores de $n$ :

• ${P(A_n)}\leq{P(B_n)}$
• ${P(C_n)}\leq{P(D_n)}$

Los gráficos y la tabla que figuran a continuación ofrecen algunas pruebas empíricas:

 range     | odd primes | cases where either P(A)>P(B) or P(C)>P(D)
-----------|------------|-------------------------------------------
 10000     | 1228       | 0
 100000    | 9591       | 1
 1000000   | 78497      | 239
 10000000  | 664578     | 239
 100000000 | 5761454    | 1940

---

Yo esperaría que las primas se distribuyeran por igual entre $A_n$ y $B_n$ y entre $C_n$ y $D_n$ .

En otras palabras, lo que esperaba:

• [Número de primos de la forma $4k+1$ ] $\approx$ [Número de primos de la forma $4k+3$ ]
• [Número de primos de la forma $6k+1$ ] $\approx$ [Número de primos de la forma $6k+5$ ]

Pero como la evidencia empírica anterior sugiere lo contrario, mis preguntas son:

1. ¿Es este el caso, o se distribuyen por igual en un rango mayor?
2. Si es así, ¿qué investigaciones se han llevado a cabo para explicarlo?

Gracias

Answer 1

El fenómeno que observas es real. Esto es conocido, el caso de $4$ , como El sesgo de Chebyshev Otra palabra clave relevante es el problema racial de Shanks-Rényi.

"Carreras de números primos" de Granville y Martin es una fantástica introducción a este círculo de ideas.

Pero, permítanme incluir aquí alguna información básica (más o menos autoplagio de una respuesta MO ).

En una escala aproximada, los recuentos de frecuencia de los primos congruentes $1$ y $3$ modulo $4$ son iguales; ambas funciones de recuento son asintóticas a $\frac{1}{2} \text{li}(x)$ con términos de error esencialmente como se conoce comúnmente de la función de conteo de primos. Se trata del conocido teorema de los números primos para las progresiones aritméticas (mencionado por Dietrich Burde).

Sin embargo, si se comparan las cuentas exactas de los primos congruentes con $1$ y $3$ modulo $4$ respectivamente, permítanme llamar a las respectivas funciones de recuento $\pi_1(x)$ y $\pi_3(x)$ entonces se observa (al menos al principio) que hay más congruencias para $3$ que congruente con $1$ Así que $\pi_3(x) > \pi_1(x)$ una observación hecha por Chebyshev. Sin embargo, Littlewood demostró que la diferencia $\pi_3(x) - \pi_1(x)$ también puede ser negativo, e incluso es infinitamente a menudo esencialmente tan negativo como puede llegar a serlo (bajo la suposición de que ambos no deben desviarse de $\text{li}(x)/2$ por más de $\sqrt{x}$ y un poco).

Entonces, ahora uno podría pensar que simplemente se encontró con un fenómeno de números pequeños, como usted dijo, con este sesgo inicial sin embargo esto es no así que allí es un sesgo en la distribución.

Si se define $P$ para ser el conjunto de todos los enteros tales que $\pi_3(x) > \pi_1(x)$ entonces estos son no "la mitad de los enteros". Rubinstein y Sarnak demostraron (bajo conjeturas ampliamente creadas sobre los ceros de las funciones L, GRH y GSH) que la densidad logarítmica de este conjunto, que es el límite de $$ \frac{1}{\log x} \sum_{n \in P} \frac{1}{n} $$
es $0.9959...$ Así que bastante cerca de $1$ aunque no es igual a $1$ por lo que "casi todos" es quizás demasiado fuerte.

Answer 2

El Densidad de Dirichlet de los primos $p\equiv 1 \bmod 4$ y de los primos $p\equiv 3 \bmod 4$ es a la vez igual a $\frac{1}{2}$ pero el número de primos hasta $x$ en ambas clases pueden ser diferentes. Esto es lo que se entiende por Carreras de números primos ( ver la respuesta de quid).

Answer 3

Me he topado con algo que esperaría que proporcionara pruebas del hecho de que se pueden escribir más primos como 6n+5 que como 6n+1. Espero que la forma en que lo describo tenga sentido, aunque no espero que sea perfectamente legible. En primer lugar, es importante señalar que cualquier número 6n+3 es divisible por tres y, por tanto, no es primo. Además, 6n+2 y 6n+4 tampoco son primos porque son pares. Por lo tanto, el conjunto de números primos que se pueden escribir como 6n+1 es equivalente al conjunto de números primos que se pueden escribir como 3n+1 (tenga paciencia). Del mismo modo, el conjunto de números primos que se pueden escribir como 6n+5 es equivalente al conjunto de números primos que se pueden escribir como 3n-1. Todos los números que se pueden escribir como 3n+1 o 3n-1 serán primos, potencias de primos o números compuestos. Cualquier número 3n+1 elevado a una potencia dará otro número 3m+1. Cualquier número 3n-1 elevado a una potencia impar dará otro número 3m-1, pero elevado a una potencia par daría un número 3m+1. Por lo tanto, tendría sentido que menos números 3n+1 fueran primos, en comparación con los escritos 3n-1. Este pensamiento, sin embargo, supone que los números compuestos se distribuyen por igual entre los números 3n+1 y 3n-1.