¿Por qué no hay mapas regulares no triviales $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m$ cuando $n > m$ ?

Question

Pregunta. Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado, y que $\mathbb{P}^n$ ser proyectivo $n$ -espacio sobre $k$ . ¿Por qué es cierto que todos los mapas regulares $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m$ es constante, cuando $n > m$ ?

No veo ningún obstáculo evidente: ciertamente hay homomorfismos de campos de funciones (que dan lugar a los mapas racionales dominantes), y no estamos exigiendo que el mapa sea inyectivo ni nada parecido. Aunque está claro que $(F_0 : \cdots : F_m)$ no puede definir un mapa regular por sí mismo a menos que $F_0, \ldots, F_m$ son todas constantes, no veo por qué debería ser imposible extender $(F_0 : \cdots : F_m)$ eligiendo algún otro $(G_0 : \cdots G_m)$ que está de acuerdo con $(F_0 : \cdots : F_m)$ en la intersección de sus dominios. ¿Hay algo conceptual que se me escapa?

Answer 1

No hace falta que la solución de Jesko se exprese en este lenguaje tan culto. En general, cualquier mapa racional $\mathbb{P}^n \rightarrow \mathbb{P}^m$ puede estar dada por un $m+1$ -tupla de polinomios del mismo grado, sin factor común. Si $n>m$ entonces la dimensión del lugar de fuga común de estos polinomios debe ser positiva, ya que cada hipersuperficie lo corta a lo sumo en uno, por lo que es no vacía. El mapa racional no puede definirse en este lugar.

Answer 2

Me disculpo de antemano si estoy utilizando resultados que usted, todavía, desconoce. Aun así, quería intentarlo:

Un morfismo $\mathbb{P}^n\to\mathbb{P}^m$ corresponde a una forma de generar globalmente un haz de líneas $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$ con $m$ generadores. Podemos asumir con seguridad $d\ge 0$ aquí. Ahora las secciones globales de ese haz de líneas son precisamente los polinomios homogéneos de grado $d$ en $n+1$ variables, y como $m<n$ esto debe significar $d=0$ es decir, hemos elegido $m$ constantes de k.