Demostrando $\sum_{k=0}^n\binom{2n}{2k} = 2^{2n-1}$

Question

Soy estudiante de licenciatura de matemáticas. Tengo que probar: $$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}= 2^{2n-1}$$ Puede usted por favor me ayude

Answer 1

Expandir $\dfrac{(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}}2$ y, a continuación, conecte $x=1$.

Answer 2

Sugerencia: Considerar $$ (1+x)^{2n} = \sum_{j=0}^{2n} {2n \elegir j}x^j $$

1. Conecte $x=-1$ : Dividir la expresión anterior en los $j$'s que son, incluso, y aquellos que son impares. Esas sumas deben ser iguales unos a otros.

2. Conecte $x=1$ : consigue $2^{2n}$ sobre el lado izquierdo; mientras que el lado derecho es una suma de los pares e impares sumas de (1).

Answer 3

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} = \sum_{k=0}^n\left[\binom{2n - 1}{2k} + \binom{2n - 1}{2k - 1}\right] = \sum_{k=-1}^{2 n} \binom{2n - 1}{2k} = \sum_{k=0}^{2 n - 1} \binom{2n - 1}{2k} = 2^{2n-1}$$