$f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ es continuo , y $f(x+1)+f(x)=x^2$

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

Encontrar $f(x)$ ($f(x)$ no es la función Polinomial), dado que:

$f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ es continuo, y $f(x+1)+f(x)=x^2$

Lo intenté, pero no podía conseguir de esa manera.

Answer 1

Puede ser útil para encontrar primero $f:\Bbb N \to \Bbb R$, luego de ampliar el resultado.

Podemos resolver la relación de recurrencia $f(n) + f(n+1) = n^2$ a través de la generación de funciones: definir $F(x) = \sum_{n=0}^\infty f(n) x^n$. Entonces $$ f(n) + f(n+1) = n^2\\ \sum_{n=0}^\infty [f(n) + f(n+1)]x^n = \sum_{n=0}^\infty n^2 x^n \\ \sum_{n=0}^\infty f(n)x^n + \sum_{n=0}^\infty f(n+1)x^n = \sum_{n=0}^\infty n^2 x^n\\ \sum_{n=0}^\infty f(n)x^n + \sum_{n=1}^\infty f(n)x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty n^2 x^n\\ F(x) + \frac 1x \left(F(x) - f(0)\right) = \frac{x(x+1)}{(x-1)^3}\\ xF(x) + F(x) - f(0) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^3}\\ (x+1)F(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^3} + f(0)\\ F(x) = \frac{x^2}{(x-1)^3} + \frac{f(0)}{x+1}\\ \sum_{n=0}^\infty f(n) x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n(n+1)}{2} x^n + f(0)\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n $$ Por lo que el establecimiento $f(0) = a$ cualquier $a$, nos encontramos con $$ f(n) = \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^n = \frac{n(n+1)}{2} + \cos(\pi n) $$ si una solución para el problema más $\Bbb R$ existe, debe ser una extensión de esta función para un cierto valor de $a$.

De hecho, $f(x) = \frac{x(x+1)}{2} + a\cos(\pi x)$ parece funcionar para cualquier $a \in \Bbb R$.

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Una solución más general (tomado de Salomo del trabajo) es $$ f(x) = \frac{x(x+1)}{2} + g(x) $$ donde $g(x)$ satisface $g(x+1) + g(x) = 0$.

Answer 2

Deje $f(x)=\frac{x^2-x}{2}+\sin(\pi x)$. A continuación, $f(x+1)+f(x)=\frac{x^2+2x+1-(x+1)}{2}+\sin(\pi x + \pi)+\frac{x^2-x}{2}+\sin(\pi x)=x^2$.

Como $\frac{x^2-x}{2}$ puede ser encontrado fácilmente, $sin(\pi x)$ puede ser reemplazado por cualquier otro polinomio función continua $g$$g(x+1)+g(x)=0$.

Answer 3

Vamos a considerar en primer lugar la función en $\mathbb{Z}$. $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k(f(k+1)+f(k)) &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}f(k)+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kf(k)\\ &=(-1)^{n-1}f(n)+f(0)\tag{1} \end{align} $$ Además, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kk^2\tag{2} &=(-1)^{n-1}\frac{n(n-1)}2 \end{align} $$ La combinación de $(1)$ $(2)$ rendimientos $$ f(n)=\frac{n(n-1)}2+(-1)^nf(0)\etiqueta{3} $$ Si establecemos $f(0)=0$, obtenemos $$ \bbox[5px,border:2px solid #FFC000]{f(x)=\frac{x(x-1)}2}\etiqueta{4} $$ La comprobación, obtenemos $$ f(x+1)+f(x)=x^2\etiqueta{5} $$ Esto nos da una solución. Supongamos que tenemos dos soluciones, $f$$g$. Entonces $$ (f-g)(x+1)+(f-g)(x)=0\etiqueta{6} $$ Es decir, $(f-g)(x+1)=-(f-g)(x)$. Por lo tanto, la solución general es $$ \bbox[5px,border:2px solid #FFC000]{f(x)=\frac{x(x-1)}2+h(x)}\etiqueta{7} $$ donde $h$ es cualquier función continua donde $h(x+1)=-h(x)$.

Un ejemplo de este tipo de $h(x)$$a\cos(\pi x)+b\sin(\pi x)$.

Answer 4

Deje $f$ ser una solución de la ecuación de $f(x+1)+f(x)=x^2$. Considere la posibilidad de $h(x)=f(x) - \frac{x(x-1)}{2}$, es decir,$f(x)=h(x) + \frac{x(x-1)}{2}$. Entonces la ecuación se convierte simplemente en: $$h(x+1) + h(x) = 0$$ Es claro que este tipo de función $h$ está totalmente determinado por lo que hace en $[0,1[$ donde $h$ puede ser definido de manera arbitraria. Por el contrario, todos los $h$ da una solución a $f$. Finalmente, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua si y sólo si $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua.