¿Por qué se pueden mezclar Derivadas Parciales con Derivadas Ordinarias en la Regla de la Cadena?

Question

Esta pregunta es una simplificado versión de esta pregunta anterior formulada por mí .

The following is a short extract from a book I am reading:

Si $u=(x^2+2y)^2 + 4$ y $p=x^2 + 2y$ $\space$ entonces $u=p^2 + 4=f(p)$ por lo tanto $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\rm d f(p)}{\rm d p}\times \frac{\partial p}{\partial x}=2xf^{\prime}(p)\tag{1}$$ y $$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\rm d f(p)}{\rm d p}\times \frac{\partial p}{\partial y}=2f^{\prime}(p)\tag{2}$$

Sé que la regla de la cadena para una función de una variable $y=f(x)$ es $$\begin{align}\color{red}{\fbox{$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}y}\times \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}$}}\color{red}{\tag{A}}\end{align}$$

También sé que si $u=f(x,y)$ entonces el diferencial es

$$\begin{align}\color{blue}{\fbox{${{\rm d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot{\rm d} x+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot{\rm d}y}$}}\color{blue}{\tag{B}}\end{align}$$

Soy consciente de que si $u=u(x,y)$ y $x=x(t)$ y $y=y(t)$ entonces la regla de la cadena es $$\begin{align}\color{#180}{\fbox{$\frac{\rm d u}{\rm d t}=\frac{\partial u}{\partial x}\times \frac{\rm d x}{\rm d t}+\frac{\partial u}{\partial y}\times \frac{\rm d y}{\rm d t}$}}\color{#180}{\tag{C}}\end{align}$$

Por último, también sé que si $u=u(x,y)$ y $x=x(s,t)$ y $y=y(s,t)$ entonces la regla de la cadena es $$\begin{align}\color{#F80}{\fbox{$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\times \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\times \frac{\partial y}{\partial t}$}}\color{#F80}{\tag{D}}\end{align}$$

¿Podría alguien explicar el origen o significado de las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ ?

La razón por la que pregunto es porque sólo estoy familiarizado con ecuaciones $\color{red}{\rm (A)}$ , $\color{blue}{\rm (B)}$ , $\color{#180}{\rm (C)}$ y $\color{#F80}{\rm (D)}$ por lo que no estoy acostumbrado a ver las derivadas parciales mezcladas con las ordinarias de la forma en que lo estaban en $(1)$ y $(2)$ .

Muchas gracias,

BLAZE.

Answer 1

Esto suele ser confuso porque se confunde el símbolo de un argumento de función con el de una función propiamente dicha. Por ejemplo, cuando se escribe $f(p) = p^2 + 4$ Estás pensando en $f$ como función y $p$ como argumento de esa función, que puede ser cualquier variable ficticia. De hecho, escribamos $f(\xi) = \xi^2+4$ que es la misma función con simplemente otro símbolo que representa la regla que $f$ implica. Al mismo tiempo, está utilizando el símbolo $p$ en función de $p(x,y) = x^2 + 2y$ . Ahora, con las funciones $f(\xi)$ y $p(x,y)$ tienes $u(x,y) = f \circ p\,(x,y)$ Eso es, $u$ es la composición de $f$ con $p$ . Por lo tanto, utilizando la regla de la cadena y suprimiendo las variables $x$ y $y$ , tienes $$ \frac{\partial u}{\partial x} = f'(p)\, \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{d f}{d \xi} (p) \, \frac{\partial p}{\partial x} $$ donde $f' = \frac{d f}{d \xi}$ ya que hemos cambiado el símbolo de argumento de $f$ à $\xi$ -- nota que $\frac{d f}{d\xi}$ se sigue evaluando en la función $p$ por la regla de la cadena. Si quisiéramos mostrar explícitamente dónde están las variables $x$ y $y$ se manifestaría, tendríamos $$ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = f'(p(x,y))\, \frac{\partial p}{\partial x}(x,y) = \frac{d f}{d \xi} (p(x,y)) \, \frac{\partial p}{\partial x}(x,y). $$ Espero que esto ayude.

Answer 2

La función dada $u$ tiene dos variables $x$ y $y$ . Por lo tanto, tiene sentido hablar de derivadas parciales $\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial u}{\partial y}$ . Mientras tomas otra 'variable' $p$ para $u$ entonces tenemos una función de una variable, pero que depende de otras dos variables, y así es $u$ entonces.

En otras palabras, sí: $$\frac{\partial u(p(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial u(p)}{\partial p}\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}$$ y $$\frac{\partial u(p(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial u(p)}{\partial p}\frac{\partial p(x,y)}{\partial y}.$$