Caracterización de la $m$-torsión puntos de una curva elíptica.

Question

Deje $(E,\mathcal{O})$ ser la curva elíptica de la ecuación $$ f=Y^{2}+a_{1}XY+a_{3}Y-X^{3}-a_{2}X^{2}-a_{4}X-a_{6}, $$

$\alpha:K(E)\rightarrow K(E)$ la derivación tales que $$ \alpha(X)=\frac{\partial f}{\partial Y},\quad \alpha(Y)=-\frac{\partial f}{\partial X} $$ y $m$ un entero positivo. Tengo que demostrar que, si estamos trabajando en un campo de $K$ de los característicos $\geq m+1$, e $\mathcal{L}(m\mathcal{O})=\langle 1,f_{1},\ldots,f_{m-1}\rangle$, $m$- torsión puntos de $E$ diferente de la $\mathcal{O}$ coinciden con los ceros de $$ \det (\alpha^{i}(f_{j}))_{1\leq i,j\leq m-1}. $$ Por cierto, ¿qué se puede decir sobre el número de ceros de que el factor determinante?

$\textbf{Edit:}$ , De hecho, que el determinante se desvanece en $p\in E-\{\mathcal{O}\}$ si y sólo si (ver los comentarios que siguen mercio de la respuesta) no existe $g\in\mathcal{L}(m\mathcal{O})$ tal que $\alpha(g)|_{p}=\cdots=\alpha^{m-1}(g)|_{p}=0$. Esto reduce el problema (porque de mercio de la respuesta, de nuevo) para mostrar que esto es equivalente a $g$ tener un cero de orden $m$$p$. ¿Es esto cierto?

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Deje $P$ ser un punto de $E$ diferente de la $\mathcal O$.

el determinante se desvanece en $P$ si y sólo si existe una combinación lineal de las $f_j$ (lo que significa que una función con polos de orden en la mayoría de las $m$$\mathcal O$), de tal forma que su primer $m-1$ derivados a $P$ todos desaparecen.

Mediante la adición de un adecuado constante a la función si es necesario, esto significa que usted tiene una función con un polo de orden $m$ $\mathcal O$ y un cero de orden $m$ $P$ (y nada más porque no puedes tener a cualquier adicional polo)

Pero esto significa exactamente eso $m(\mathcal O - P)$ es una de las principales divisor, por lo que una vez que arreglar $\mathcal O$ como el origen del grupo la ley, $P$ es un punto de orden $m$.