Simétrica, el sesgo de simetría $\mathbb{R}$-bilineal forma, la matriz de la forma en $\mathbb{R}$ -.

Question

Deje $(-, -): V \times V \to \mathbb{C}$ ser positiva definida Hermitian producto interior en un finito dimensionales $\mathbb{C}$-espacio vectorial $V$ y deje $e_1, \ldots, e_n$ ser un ortonormales base de $V$. Para cualquier $v$, $w \in V$, deje $(v, w)_{\text{Re}}$ ser el real, resp. $(v, w)_{\text{Im}}$ el imaginario, que forma parte del complejo número de $(v, w)$. Por lo tanto, hemos$$(v, w) = (v, w)_{\text{Re}} + i \cdot (v, w)_{\text{Im}}.$$Let $V_\mathbb{R}$ be $V$ viewed as a vector space over $\mathbb{R}$, so $e_1, \ldots, e_n, i \cdot e_1, \ldots, i \cdot e_n$, is an $\mathbb{R}$-basis of $V_\mathbb{R}$.

1. ¿Cómo puedo ver que $v$, $w \mapsto (v, w)_\text{Re}$, resp. $v$, $w \mapsto (v, w)_{\text{Im}}$, es simétrica, resp. skew-simétrica, $\mathbb{R}$-bilineal forma en $V_\mathbb{R}$?
2. ¿Qué es la matriz de la forma bilineal en la anterior $\mathbb{R}$-base?

Answer 1

¿Cómo puedo ver que $v$, $w \mapsto (v, w)_\text{Re}$, resp. $v$, $w \mapsto (v, w)_{\text{Im}}$, es simétrica, resp. skew-simétrica, $\mathbb{R}$-bilineal forma en $V_\mathbb{R}$?

Desde $$(v,w)=\overline{(w,v)}=\overline{(w,v)_\mathrm{Re}+i(w,v)_\mathrm{Im}}=(w,v)_\mathrm{Re}-i(w,v)_\mathrm{Im},$$ tenemos $$(v,w)_\mathrm{Re}+i(v,w)_\mathrm{Im}=(w,v)_\mathrm{Re}-i(w,v)_\mathrm{Im}$$ que es $$(v,w)_\mathrm{Re}=(w,v)_\mathrm{Re},\quad (v,w)_\mathrm{Im}=-(w,v)_\mathrm{Im}.$$

¿Qué es la matriz de la forma bilineal en la anterior $\mathbb{R}$-base?

Encontrar directamente. Lo que está en el $(j,k)$ celda de la matriz?