Prueba por inducción de la desigualdad de Bernoulli: $(1 + x)^n \geq 1 + nx$

Question

Me piden que utilice la inducción para demostrar la desigualdad de Bernoulli: Si $1+x>0$ entonces $(1+x)^n\geq 1+nx$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Esto es lo que tengo hasta ahora:

Dejemos que $n=1$ . Entonces $1+x\geq 1+x$ . Esto es cierto. Supongamos ahora que la desigualdad propuesta es válida para un número arbitrario de $k$ , es decir, que $$1+x>0\implies (1+x)^k\geq 1+kx,~\forall~k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$$ es cierto. Queremos demostrar que la desigualdad propuesta se cumple para $k+1$ . Así, la multiplicación de $(1+x)$ en cada lado de la desigualdad anterior produce el siguiente resultado: $$(1+x)(1+x)^k\geq (1+kx)(1+x)\implies (1+x)^{k+1}\geq 1+x+kx+kx^2\cdots\cdots\cdots$$

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

$$\begin{align} (1 + x)^{k+1} & \geq (1+kx)(1+x) \\ \\ & = 1 + kx + x + kx^2 \\ \\ & = 1 + (k+1)x + kx^2 \\ \\ & \geq 1+ (k+1) x\end{align}$$ como se desee.

Observación: La hipótesis inductiva $P(k)$ se supone que sólo para algunos arbitrarios $k \in \mathbb N$ es decir, el punto de una inducción prueba es entonces demuestran que efectivamente es cierto para todos $n \in \mathbb N$ , por primero demostrando que $P(1) \land (P(k) \implies P(k+1)).$

Answer 2

Ya casi has terminado. $(1+x)^{k+1}\geq (1+kx)(1+x)=1+kx^2+(k+1)x\geq1+(k+1)x$ desde $kx^2\geq 0$ .

También en su supuesto, " $1+x>0\implies (1+x)^k\geq 1+kx,~\forall~k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ ", no debes escribir $\forall~k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ . Porque si asumes que esto es cierto para todos $k\in \mathbb{N}$ entonces ya has asumido que es cierto para $k+1$ . Además, no debes dejar que $k\ne 1$ ya que entonces tu argumento no te permite concluir $P(1) \implies P(2)$ .

Answer 3

Usted tiene $(1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x + kx^2$ . Teniendo en cuenta que $kx^2 \geq 0$ ¿Qué implica esto sobre su desigualdad?