La comprensión de la derecha-la exactitud del producto tensor utilizando *sólo* universal de la propiedad y el Yoneda lema

Question

Me gustaría tener una intuición de por qué $(-)\otimes N$ es de derecha exacto el uso universal de la propiedad que implican bilineal mapas, no apelando a nivel superior observaciones tales como "de izquierda adjoints preservar colimits". El argumento de abajo es el mejor que podía hacer para lograr este objetivo, pero es evidente que se está en la necesidad de rigorization (si es que realmente algo a lo largo de estas líneas es la correcta).

Me han indicado dos puntos en el argumento de abajo que me gustaría pedir explicaciones detalladas de cómo rigorize y/o revisión.

Este es un intento de volver a preguntar una pregunta anterior de la mina, que aparentemente fue fácil malinterpretar.

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Idea básica:

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría. Para cualquier objeto $X$$\mathcal{C}$, vamos a $h^X:\mathcal{C}\to\mathsf{Set}$ ser covariantes hom functor: $$h^X(Y):=\mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(X,Y),\qquad h^X\left(Y\xrightarrow{\;f\;}Z\right)=\mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(X,Y)\xrightarrow{\;f\,\circ\, -\;}\mathrm{Mor}_{\mathcal{C}}(X,Z)$$ El Yoneda lema implica que una transformación natural $\gamma:h^X\Rightarrow h^W$ debe provenir de una de morfismos $g:W\to X$; es decir, debemos tener la $\gamma_Y(k)=k\circ g$ algunos $g$.

Si $\gamma_Y$ es inyectiva para todos los objetos de $Y$$\mathcal{C}$, el correspondiente $g$ es un epimorphism (por definición).

Deje $A$ ser un anillo, y fijar un $A$-módulo de $N$.

Si una $A$-mapa del módulo $\psi:M_1\to M_2$ es surjective, a continuación, $(\psi,\mathrm{id}_N):M_1\times N\to M_2\times N$ es surjective, así que para todos los $A$-módulos de $P$, el mapa $$\mathrm{Hom}(M_2\otimes N,P)\underset{\text{natural}}{\cong}\mathrm{Bilin}(M_2,N;P)\xrightarrow{-\circ(\psi,\mathrm{id}_N)}\mathrm{Bilin}(M_1,N;P)\underset{\text{natural}}{\cong}\mathrm{Hom}(M_1\otimes N,P)$$ is injective. Therefore (?) the induced map $M_1\otimes_AN\a M_2\otimes_AN$ is an epimorphism, which is equivalent to being a surjection for $$-módulos.

Una breve secuencia exacta $$M_1\xrightarrow{\;\psi\;}M_2\xrightarrow{\;\rho\;} M_3\longrightarrow 0$$ es equivalente a tener un surjective mapa de $\rho:M_2\to M_3$ y un surjective mapa de $\psi:M_1\to\ker(\rho)$. Debido a que el functor $(-)\otimes_AN$ "conserva surjectivity", debe por lo tanto (?) ser derecho-exacto.

Answer 1

El primer paso es correcto, pero el segundo paso es: Usted no puede decir nada sobre el kernel después de tensoring. También tenga en cuenta que el segundo paso es puramente formal y se aplicarán a cada aditivo functor que conserva epis. Pero no todas las functor es derecho exacta.

Deje $M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0$ ser una secuencia exacta. Queremos demostrar que, para cada módulo de $N$, la secuencia de $M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N \to 0$ es exacta, es decir, que $M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N$ es un cokernel de $M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N$. Esto significa que, por la característica universal de la cokernel, que para cada "prueba" módulo de $T$, la secuencia de $0 \to \hom(M_3 \otimes N,T) \to \hom(M_2 \otimes N,T) \to \hom(M_1 \otimes N,T)$ es exacto (como abelian grupos, pero también como módulos). Por la definición del producto tensor, esta secuencia es isomorfo a la secuencia $0 \to \mathrm{Bilin}(M_3,N;T) \to \mathrm{Bilin}(M_2,N;T) \to \mathrm{Bilin}(M_1,N;T)$. $(\star)$

Por tanto, el reclamo es en realidad equivalente a una declaración acerca de bilineal mapas. Y esto puede comprobarse ahora directamente. Voy a dejar fuera de la trivial pasos. Por el único que es interesante, vamos a $\beta : M_2 \times N \to T$ ser un bilineal mapa que se desvanece en $M_1 \times N$. Definir $\gamma : M_3 \times N \to T$ como sigue: Si $m_3 \in M_3$, $n \in N$, elija una preimagen $m_2 \in M_2$ $m_3$ y definen $\gamma(m_3,n):=\beta(m_2,n)$. Esto está bien definido, porque todos los demás elección de $m_2$ es de la forma $m_2+x$ algunos $x$ proveniente de $M_1$, y, a continuación,$\beta(m_2+x,n)=\beta(m_2,n)+\beta(x,n)=\beta(m_2,n)$. Uno ve que $\gamma$ es bilineal porque $\beta$ es. Y el curso de $\gamma$ deseada es la preimagen en $\mathrm{Bilin}(M_3,N;T)$.

Este no es el más conceptual de la prueba. Ya hemos mencionado el uso de adjuntos functors. Pero también podemos elegir un final alternativo para la prueba anterior: La secuencia de $(\star)$ es isomorfo a $0 \to \hom(N,\hom(M_3,T)) \to \hom(N,\hom(M_2,T)) \to \hom(N,\hom(M_1,T))$, que es exacto debido a que $\hom(N,-)$ exacto y $\hom(-,T)$ es derecho exacta.

Y, sin embargo, otro final (lo que explica Qiaochu del comentario): El isomorfismo $\mathrm{Bilin}(-,N;T) \cong \hom(-,\hom(N,T))$ muestra que este functor es representable y, por tanto, derecho exacta, por lo tanto $(\star)$ es exacta.