Si $\gcd(f(x), g(x))\ne1$, $F[x]/(fg)$ no es isomorfo a $F[x]/(f)\times F[x]/(g)$

Question

Así que pensé que esta cuestión como una extensión de la correspondiente $Z_m$, $Z_n$, $(m, n)\ne1$.

El problemas es que yo soy incapaz de demostrarlo, o refutarla. Lo intento, pero me siguen saliendo disparado desde un isomorfismo no necesariamente tiene que ser la identidad cuando se limita a $F$. Me las arreglé para demostrar que para todo finito y campos generados por su identidad (mi 'prueba' es ahora mucho tiempo para poner aquí, sin embargo). ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre el caso general? Realmente apreciaría.

Lo contrario es claramente cierto, pero el problema es que no está clara la manera de extender la prueba a partir del 1 de no generar el campo arbitrario.

Answer 1

Los ideales de $F[x]/(fg)$ va a corresponder a los divisores de $fg$, y a los ideales del producto anillo va a corresponder a los pares de divisores, un divisor de a $f$ con un divisor de a $g$. Al $f$ $g$ no coprime, no van a ser los más pares que habrá divisores de $fg$. (Este es mi intuición, de todos modos.)

Answer 2

Aunque uno podría realmente estar interesado en el "absoluto" de la cuestión planteada, hay argumentos en favor de pedir el "natural" de la versión de la pregunta, es decir, si sería un "natural" isomorfismo, excepto en el caso de que $f,g$ son coprime. Al menos, responder a los "naturales" de la cuestión en primer lugar, se restringe la "absoluta" de la versión en diversos útiles (y filosófica) maneras, y da una pista acerca de la "absoluta" de la versión.

Así, los "naturales" de la pregunta, es si o no para un PID $R$ natural homomorphism $R/ab \to R/a\oplus R/b$ $r\mod ab \to (r\mod a)\oplus (r \mod b)$ es un isomorfismo. (Al $a,b$ son relativamente primos, el Sol-Ze isomorfismo (patéticamente-a menudo conocido como el "Teorema del Resto Chino") le da a la inversa. Para $d=\gcd(a,b)>1$, hay un elemento en $R/ab$ aniquilado por $d^2$, pero no por $d$, mientras que en $R/a\oplus R/b$ NO existe tal elemento.

(Uno podría argumentar que el pensamiento sobre la "natural" mapa era un "arenque rojo", metodológicamente, ya que no jugó ningún formales de participación a todos, pero, sostengo, el contexto y el sentido de que puede ser útil en la delimitación de los temas... y cuando resulta no ser críticamente relevante... bueno, ... genial!)

Así, tal vez, como si por accidente, descubre que un dispositivo para probar que el natural (y posiblemente un isomorfismo si el destino dice que no debe ser...), el mapa no puede ser un isomorfismo es más, a saber, que ningún mapa puede ser un isomorfismo. Una metodología, así como las matemáticas y la realidad-ual.

[Por supuesto, otro de los pueblos intuiciones prefieren otras asesoramiento sobre la metodología...]