$ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ diverge sino $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{1+a_{n}^{2}} $ a veces converge y en algún momento se bifurca.

Question

Deje $ \lbrace a_{n}\rbrace $ ser una secuencia de términos positivos tales que $ \sum \limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ diverge.

Voy a mostrar que la serie $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{1+a_{n}^{2}} $$ a veces converge y en algún momento se bifurca.

Mi Intento: de la divergencia de las $ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{1+a_{n}^{2}} $, he definido la secuencia de $ \lbrace a_{n}\rbrace $ como sigue.

Para cada $ n\in \mathbb{N} $, $ a_{n}=1 $. A continuación,$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}1 $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{1+a_{n}^{2}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2} $. Por lo tanto ambos $ \sum \limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ $ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{1+a_{n}^{2}} $ son divergentes. Pero estoy teniendo problemas para encontrar un ejemplo de la convergencia de $ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{1+a_{n}^{2}} $.

¿Puede alguien por favor me den una sugerencia o una idea?

Answer 1

Deje $a_n = 2^n$. A continuación, $\sum_{n = 1}^\infty a_n$ diverge. Sin embargo, desde la $a_n/(1 + a_n^2) < 1/2^n$ $\sum_{n = 1}^\infty 1/2^n$ converge, por la prueba de comparación, $\sum_{n = 1}^\infty a_n/(1 + a_n^2)$ converge.

Answer 2

Sugerencia. Deje $r>1$. Si $a_n>r^n$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty$. Tenga en cuenta que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+a_n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{1}{a_n}+a_n} \leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{r^n} = \lim_{n\to \infty}\frac{(\frac{1}{r})^{n+1}-\frac{1}{r}}{(\frac{1}{r})-1} = \frac{-\frac{1}{r}}{\frac{1}{r}-1} = \frac{1}{r-1} $$

Answer 3

Considere la posibilidad de $a_n = \frac{1}{n^{1+\epsilon}}, \ \epsilon>0$. Después de hacer algunas de álgebra en el término que en la secuencia se convertirá $\frac{1}{n^{1+\epsilon}}$, que converge (por ejemplo, por parte integral de la prueba). Tomemos, por ejemplo,$a_n = \frac{1}{n^2}$.