Yo tengo otra pregunta de un alumno que ha dejado perplejos a mí: Vamos a $D^{n+1}$ $n+1$- disco, con el límite de la esfera de $S^n$. Supongamos $f:D^{n+1}\longrightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ es un mapa tal que $f(S^n)\subseteq S^n$. Además, supongamos que el $f|_{S^n}$ tiene un valor distinto de cero grado. Mostrar que $f(D^{n+1})$ contiene $D^{n+1}$.
Tengo que admitir, yo estoy en una pérdida para empezar, incluso este problema.
Bien, bajo el título general de la Hopf Grado Teorema, tenemos la Extensión del Teorema. Estoy buscando en la Guillemin y Pollack, páginas 145 y 146, en el buen categoría de realidad.
PERO ver WOOKIE para el caso continuo:
Un mapa de $f: \mathbb S^n \rightarrow \mathbb S^n$ es extensible a un mapa de $F: \mathbb D^{n+1} \rightarrow \mathbb S^n$ si y sólo si $\deg(f)=0.$
La Extensión es el Teorema de la misma con la preimagen reemplazado por cualquier compacto conectado orientado $W$ con límite de $\partial W$ de la dimensión de $n+1$ $n.$
De todos modos, el $f|_{S^n}$ está dado tiene un valor distinto de cero grados, por lo que no hay extensión de $F$ que se asigna a todos los de la cerrada de la bola a la esfera. Mientras tanto, asumir que existe un punto de $U$ en el open de bola que no está en la imagen de $f.$ Componer $f$ con la proyección central de $U$ a $\mathbb S^n.$ Este nuevo mapa se $\mathbb D^{n+1}$$\mathbb S^n,$, por lo que es una extensión. Esta es una contradicción.
Tenga en cuenta que no era realmente necesario tener el punto que falta $U$ estar en el origen, ya que la esfera es en forma de estrella alrededor de cualquier punto de la bola abierta. Además, como el original de la $f\left(\mathbb D^{n+1}\right)$ es compacto, la distancia de a $U$ está delimitada desde abajo. Esto parece necesario concluir que el compuesto mapa es continua.
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