Me tire $17$ bolas de una bolsa, y hay $13$ colores distintos en la muestra. Acerca de cuántos colores hay en la bolsa?

Question

Tengo una bolsa llena de diferentes colores de las bolas. Mi objetivo es determinar el número de colores distintos que en la bolsa, pero estoy limitado a la toma de una pequeña muestra. A partir de una muestra de $N$ pelotas, veo que no $X$ diferentes colores. ¿Cuál es el número esperado de diferentes colores en la bolsa?

Algunos de los supuestos que deben hacerse:

• La bolsa es lo suficientemente grande en tamaño que la probabilidad de sacar un color determinado no depende de cuántas bolas ya hemos dibujado. (Efectivamente, estamos dibujando con reemplazo.)
• Hay un número igual de cada color en la bolsa.

Por ejemplo, digamos que yo dibuje $N=17$ bolas de la bolsa, y veo a $X=13$ colores distintos. Lo que es una buena estimación para el número de colores en la bolsa?

Hasta el momento, he hecho poco progreso hacia la resolución de esto por mi cuenta. He tratado de revertir la solución para el cupón del colector de problema (como para resolver por el número de colores como opuesto al número de ensayos), pero me quedó atascada ya que implicaba la armónica de los números.

Answer 1

Si la muestra es el tamaño de la $n$, la probabilidad de que usted ve $X=x$ diferentes colores cuando hay $Y=y$ colores posibles es proporcional a $$\dfrac{y!}{(y-x)! y^n}.$$

Así que, dado que $X=x$, la estimación por máxima verosimilitud de $Y$ es la solución real a $y(y-1)^n -(y-x) y^n=0$ se redondea hacia abajo, o en otras palabras, el entero más grande $y$ para que el lado izquierdo es no negativo. (Tenga en cuenta que si $x=n$ la estimación de máxima verosimilitud es infinito.)

En este caso en particular con $n=17$$X=13$, la estimación por máxima verosimilitud de $Y$$28$.

La incertidumbre es considerable: cualquier valor de $Y$ $15$ a $91$ tendría una probabilidad de ver $13$ colores únicos a partir de una muestra de $17$ más de un décimo de la probabilidad resultante de $Y=28$.