Una relación es un subconjunto del producto Cartesiano de dos conjuntos, si "tienen la misma cardinalidad", que se denota como $R$, es una relación, entonces no debe existir set $A, B$, de tal manera que $R \subset A \times B$. ¿Qué son los $A, B$, entonces? No se pueden "conjunto de todos los conjuntos", porque no existe tal conjunto según el axioma de regularidad (teoría de conjuntos ZFC).
¿Me olvido de algo?
Gracias.
Tienes razón, esto no es una relación de equivalencia si se requiere que el dominio de "todos los conjuntos". Sin embargo, si se limita a, digamos, todos los subconjuntos de un conjunto dado $X$, entonces esto es una relación de equivalencia ahora. (Y, por selección de un adecuado $X$, siempre podemos garantizar a incluir en el dominio de la relación con lo que establece, en realidad puede ser de su interés.)
Es común, sin embargo, que no se preocupe acerca de esto cuando discuten acerca de cardinalidades. Después de todo, es seguro, cierto que para cualquier conjuntos de $A,B,C$, $A$ tiene el mismo tamaño como $A$ si $A$ tiene el mismo tamaño como $B$ $B$ tiene el mismo tamaño como $A$, y si $A$ tiene el mismo tamaño como $B$ $B$ tiene el mismo tamaño como $C$ $A$ tiene el mismo tamaño como $C$. Esto es lo que importa cuando en realidad el trabajo con cardinalidades, en lugar de si de algo o de otro satisface la definición formal de la equivalencia de la relación.
Dicho esto, hay una razón por la que queremos que esto sea una relación de equivalencia, es decir, para que podamos tomar las clases de equivalencia y trabajar con ellos. Si trabajamos con la clase de todos los conjuntos, entonces las clases de equivalencia sería adecuada clases (es decir, que sería "demasiado grandes" para ser conjuntos), y esto puede conducir a problemas en el momento de formalizar lo que uno está haciendo. En la teoría de conjuntos axiomática, el estándar de la solución a este problema es el axioma de fundación. Esto asigna a cada grupo un rango (formalmente, un ordinal), lo cual nos permite, a través de un pequeño desvío, para definir las clases de equivalencia como conjuntos. Otra solución es proporcionada por el axioma de elección, que nos permite elegir canónica de representantes de cada clase de equivalencia (algunos ordinales).
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