Cómo encontrar el valor de $\sqrt{1\sqrt{2\sqrt{3 \cdots}}}$?

Question

Pensé que esta pregunta recientemente, y creo que he descubierto la suma parcial: $$ S_n := \left(n\prod_{k=2}^{n-1} k^{2^{n-k}}\right)^{2^{-k}}. $$ Pero yo ni siquiera sé muy bien si estoy en el camino correcto. Si soy yo, ¿cómo puedo encontrar el límite de la ecuación anterior, y si no, ¿cómo puedo encontrar otra manera? Gracias.

Answer 1

Este es Somos' cuadrática de la recurrencia constante de $($ también$)$, cuyo valor es de alrededor de $1.661688^{^-}$ y que todavía no es conocida por poseer una forma cerrada. Para una expresión similar, véase el anidada radical constante. Creo que debería ayudar.

Answer 2

Vemos que $$ S_n = 1^{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{4}}3^{\frac{1}{8}}\ldots = \prod_{k=1}^{n}k^{2^{-k}}. $$ Además $$ \log S_n = \sum_{k=1}^{n}\log k^{2^{-k}} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k\log k. $$ Así que podemos ver que $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\log S_n = \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k\log k \le \sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac{1}{2}\right)^k = \\\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \frac{1}{2}\frac{1}{(1-1/2)^2} = \frac{1}{8}<\infty. $$ De modo que el producto definitivamente converge. Lamentablemente, no conozco sobre el límite exacto.

Answer 3

Una manera fácil de mostrar que el producto es acotado, es para sustituir la secuencia con $2^n$ en lugar de $n$.

El producto es menor que el $ 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{2}{4} } \times 2^{ \frac{3}{8} } \times 2^{ \frac{ 4} { 16} } \ldots = 2^2 = 4$.