Continua surjective funciones de $\omega_1 \to \omega_1$.

Question

Estoy buscando ejemplos no triviales de surjective funciones continuas de $\omega_1$ a $\omega_1$ ($\omega_1$'s en el orden de la topología).

¿Qué tipo de propiedades que deben estas funciones tienen? Puede dar un ejemplo de que es muy diferente de la identidad?

EDIT: Más específicamente, las funciones que no son monótonas y/o no-de-uno-a-uno sería de gran ayuda.

Answer 1

Aquí hay un par de no enteramente trivial ejemplos:

• Cada una de las $\alpha\in\omega_1$ puede ser escrito de una manera única en la forma $\omega\cdot\xi_\alpha+n_\alpha$ (ordinal aritmética) con $\xi_\alpha\in\omega_1$$n_\alpha\in\omega$. Para cada una de las $\xi\in\omega_1$ deje $\sigma_\xi$ ser una permutación de $\omega$ que corrige $0$. Definir $$\varphi:\omega_1\to\omega_1:\alpha\mapsto\omega\cdot\xi_\alpha+\sigma_{\xi_\alpha}(n_\alpha)\;;$$ then $\varphi$ es continua y bijective.

• Más generalmente, si $0<\eta<\omega_1$, cada una de las $\alpha\in\omega_1$ puede ser escrito de una manera única en la forma $\omega^\eta\cdot\xi_\alpha+\rho_\alpha$ (todos los ordinales aritmética) con $\xi_\alpha\in\omega_1$$\rho_\alpha\in\omega^\eta$. Para cada una de las $\xi\in\omega_1$ deje $\sigma_\xi$ ser un continuo permutación de $\omega^\eta$ que corrige $0$; a continuación, $$\varphi:\omega_1\to\omega_1:\alpha\mapsto\omega^\eta\cdot\xi_\alpha+\sigma_{\xi_\alpha}(\rho_\alpha)$ $ es continua y bijective.

• Deje $C=\{\gamma_\xi:\xi\in\omega_1\}$ ser cualquier cerrada, conjunto ilimitado en $\omega_1$ en su posición normal de la enumeración. La función de $$\varphi:\omega_1\to\omega_1:\alpha\mapsto\min\{\xi\in\omega_1:\alpha\le\gamma_\xi\}$$ está bien definido, continua, y surjective.

Los dos primeros de estos no son, en general, monótona, y la tercera no es en general un bijection. Es bastante fácil de combinar las dos ideas para obtener ejemplos, que no son ni.

Vamos a ver lo que podemos decir, en general, acerca de tales funciones. Supongamos que $\varphi:\omega_1\to\omega_1$ es un continuo surjection. Para $\alpha\in\omega_1$ deje $C_\alpha=\varphi^{-1}\big[\{\alpha\}\big]$; la familia $\{C_\alpha:\alpha\in\omega_1\}$ de fibras de $\varphi$ es una partición de a $\omega_1$ en conjuntos cerrados. Tenga en cuenta que si $A\subseteq\omega_1$ es ilimitado, a continuación, $\varphi^{-1}[A]$ también es ilimitado. Fix $\alpha\in\omega_1$ y dejar $K=\omega_1\setminus(\alpha+1)=\{\xi\in\omega_1:\xi>\alpha\}$; $K$ está cerrada y acotada ( cub ), por lo $\varphi^{-1}[K]$ es un cachorro de conjunto. La intersección de dos cachorros pone en $\omega_1$ es un cachorro de conjunto, y $C_\alpha\cap\varphi^{-1}[K]=\varnothing$, lo $C_\alpha$ no puede ser ilimitado. Por lo tanto, $\varphi$ debe tener compacto (por lo tanto limitado) de las fibras. Se sigue de las presionando hacia abajo lema de que si $S$ es cualquier estacionaria subconjunto de $\omega_1$, hay un $\alpha\in S$ tal que $\varphi(\alpha)\ge\alpha$. Deje $\Phi=\{\alpha\in\omega_1:\varphi(\alpha)=\alpha\}$, el conjunto de puntos fijos de $\varphi$. Un estándar de cierre argumento muestra que el $\Phi$ es ilimitado, y, por supuesto, $\Phi$ es cerrado. Por lo tanto, $\varphi$ ha fibras compactas y es la identidad de un cachorro de conjunto. Esto implica, además, que cualquier contables de la familia de continuo surjections de $\omega_1$ $\omega_1$estará de acuerdo en un cachorro de establecer, ya que la familia de cachorros conjuntos es cerrado bajo contables de las intersecciones.