Estoy empezando la teoría analítica de números y veo esta fórmula en el libro de Apostol : Si $f$ tiene una derivada continua $f'$ en el intervalo $[y,x]$ , donde $0 < y < x$ entonces $$ \sum_{y < n \le x} f(n) = \int_y^x f(t) \, dt + \int_y^x (t-[t]) f'(t) \, dt + f(x) ([x] - x) - f(y) ([y]-y). $$ La prueba de Apostol se puede seguir fácilmente si se utiliza la integración de Riemann. Pero como me encuentro a menudo con teóricos de los números, veo más este tipo de notación: $$ \sum_{y < n \le x} f(n) = \int_y^x f(t) d[t] = \text{something here I don't recall} - \int_y^x [t]f'(t) dt $$ porque por alguna razón pueden "integrar $d[t]$ y da $[t]$ ", lo cual no entiendo, y tampoco comprendo exactamente lo que $d[t]$ significa. He hecho un curso de teoría de la medida ; lo que digo es que no entiendo todos los detalles ; entiendo que "integran por partes con la medida $d[t]$ ", lo que simplifica bastante la prueba, pero no entiendo las suposiciones que hacen y cómo se resuelven los detalles. Creo que $d[t]$ podría ser una medida tal que para $E \subseteq \mathbb R$ o $\mathbb C$ , $d[t](E) = | \mathbb N \cap E |$ pero no estoy seguro.
Esto es lo que estoy buscando: No quiero un punto de vista intuitivo con gráficos o sumas; quiero una demostración formal desde el punto de vista de un teórico de la medida, con detalles. ¿Hay alguna forma de que esto quede claro? La razón por la que quiero esto es porque no tengo mucha fe en la "integración por partes con $d[t]$ "La versión de la prueba, pero a los teóricos de los números parece gustarles mucho y todos la esbozan; yo nunca conseguí hacerlo formalmente, aunque hice un curso de teoría de la medida.
Gracias por la ayuda,
