Pregunta sobre la diferenciación bajo el signo integral

Question

Dejemos que $0<m(E)<\infty$ para un subconjunto medible de Lebesgue $E \subset \mathbb{R}$ . Consideremos dos funciones positivas $f$ y $g$ en $L^p(E)$ , $p>1$ y definir la función $F:[0,\infty) \to [0, \infty)$ como $$F(t)= \int_E [f(x)+tg(x)]^pd x.$$ Mostrar $F$ es diferenciable en $(0, \infty)$ y calcular su derivada $F'(t)$ . Asegúrese de mostrar $F'(t)$ es finito.

Esto viene de un antiguo examen de calificación en mi universidad. Aquí está mi intento (dejando $h(x,t)$ representan la función en la integral):

Desde $p-1>0$ y como $f$ y $g$ son positivos, el parcial $$\frac{\partial h}{\partial t}=pg(x)[f(x)+tg(x)]^{p-1}$$

existe para cada $(x,t), x\in E, t\in [0,\infty)$ . También hay que tener en cuenta para cada $(x,t)$ de nuevo desde $g$ y $f$ son positivos, \begin{align*} \bigg|\frac{\partial h}{\partial t}\bigg|&=\big|pg(x)[f(x)+tg(x)]^{p-1}\big| \\ & \leq p 2^{p-1}\big(f(x)^{p-1}g(x)+t^{p-1}g(x)^p\big) \end{align*}

La finitud de $m(E)$ garantiza que esta última función es integrable. Por lo tanto, $$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac {\partial}{\partial t} \int_E h(x,t)\:\mathrm{d}x=\int_E \frac{\partial h}{\partial t}\:\mathrm{d}x=p\int_Eg(x)[f(x)+tg(x)]^{p-1}\:\mathrm{d}x < \infty$$ para todos $(x,t)$ como se ha descrito anteriormente.

Me siento incómodo con esta solución, especialmente con las desigualdades, y si he justificado correctamente la diferenciación bajo el signo integral.

Answer 1

Me parece que el planteamiento que ha hecho es correcto, pero no entiendo sus desigualdades. En su lugar, propongo las siguientes desigualdades.

\begin{align*} \bigg|\frac{\partial h}{\partial t}\bigg|&=\big|pg(x)[f(x)+tg(x)]^{p-1}\big| \\ & \leq p \left( \frac{\lvert g(x) \rvert^p}{p} + \frac{\lvert f(x)+tg(x)\rvert^p}{q}\right) \end{align*}

Aquí, he utilizado la desigualdad de Young : $\vert ab \vert \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ donde $q = \frac{p}{p-1}$ Sustituir $a= g(x)$ y $b = [f(x)+tg(x)]^{p-1} $

La integral del lado derecho de la desigualdad anterior (con respecto a $x$ ) es finito ya que tanto $f$ y $g$ son $p$ integrable. Por lo tanto, a partir del Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue podemos intercambiar la integral y la diferenciación y tenemos la derivada como has calculado.

Answer 2

Debes nombrar los teoremas no triviales que estás utilizando si quieres que juzguemos si estás justificando todo correctamente. Este consejo se extiende a los exámenes quals si los vas a cursar en el futuro, y más allá.

Para la primera desigualdad, se puede empezar con $f + tg \leq 2 \max(f, tg)$ . Pero no tome la suma todavía - en lugar de eso, tome el poder primero, de donde $$(f + tg)^{p-1} \leq 2^{p-1}[\max(f, tg)]^{p-1} = 2^{p-1} \max(f^{p-1}, t^{p-1}g^{p-1}) \leq 2^{p-1}(f^{p-1}+t^{p-1}g^{p-1}). $$

A continuación, para la segunda desigualdad y cuando escribes "la última función es integrable", ¿estás posiblemente tratando de argumentar que el producto de dos $\mathscr L^1$ funciones es $\mathscr L^1$ ? Si es así, no: no es cierto en general. En cambio, aplicando Hölder en el $f^{p-1}g$ término da $$ \lVert f^{p-1}g \rVert_1 \leq \lVert f^{p-1} \rVert_{p/(p-1)} \lVert g \rVert_p = \lVert f \rVert_p^{p-1} \lVert g \rVert_p < \infty $$ donde utilizamos $$ \lVert f^{p-1} \rVert_{p/(p-1)} = \left(\int (f^{p-1})^{p/(p-1)}\right)^{(p-1)/p} = \left(\int f^p\right)^{(p-1)/p} = \lVert f \rVert_p^{p-1}. $$

Y para la derivada bajo la integral, es posible que puedas encontrar un teorema listo en el libro de texto de tu elección (de la escuela). No obstante, sería más seguro saber justificar el cambio utilizando el valor medio y los teoremas de convergencia dominada. Argumentamos lo siguiente: En cualquier intervalo abierto acotado $I \subset (0, \infty)$ que contiene $t$ el teorema del valor medio nos dice que para todo $s \in I \setminus \{t\}$ tenemos \begin{align*} \left\lvert \frac{h(x,s) - h(x,t)}{s - t} \right\rvert &= \lvert \partial_t h(x,c_s) \rvert \\ &\leq \sup_{c \in I} \lvert \partial_t h(x,c) \rvert \\ &\leq p2^{p-1} \left( f(x)^{p-1} g(x) + (\sup I)^{p-1} g(x)^p \right) \in \mathscr L^1 \end{align*} donde $c_s \in I$ depende de $s$ . Así, el teorema de convergencia dominada nos permite desplazar el límite en la definición de $F'$ dentro de la integral, dando $F' = \int \partial_t h \, \mathrm{d}x$ .

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De hecho, podemos omitir la primera desigualdad. Dado que $f+tg \in \mathscr L^p$ aplicando Hölder directamente se obtiene $$ \lVert (f+tg)^{p-1}g \rVert_1 \leq \lVert (f+tg)^{p-1} \rVert_{p/(p-1)} \lVert g \rVert_p = \lVert f+tg \rVert_p^{p-1} \lVert g \rVert_p < \infty. $$ Por lo tanto, $\partial_t h(x,t)$ es integrable sobre $x \in E$ para todos $t$ . Más generalmente, tenemos que las medias geométricas ponderadas de reales no negativos $\mathscr L^p$ Las funciones también son $\mathscr L^p$ .