Cómo visualizar $f(x) = (-2)^x$

Question

De fondo

Yo enseñar Álgebra y el segundo año de Álgebra para estudiantes de escuela intermedia. Actualmente estamos estudiando Exponencial, el Poder y las funciones Logarítmicas. Vamos a estudiar las funciones exponenciales (de la forma $f(x) = ab^x$ donde $a \neq 0, b > 0$). He enseñado los fundamentos de las funciones exponenciales antes y me he preguntado acerca de la función de $f(x) = (-2)^x$. Al principio yo estaba confundido en cuanto a por qué la calculadora no sería la gráfica de cualquier función exponencial con un negativo de base. Entonces me di cuenta de que, dependiendo de las raíces, para decir $(-2)^{1.25}$ $(-2)^{1/3}$ algunas muy diferentes cálculos deben realizarse. Todavía estoy perdido en cuanto a cómo explicarías $(-2)^\pi$ pero supongo que eso es sólo ser molesto. Quiero saber cómo explicar la salida de $f(x) = (-2)^x$.

Comentarios

Sé por ejemplo que hay una serie de valores para los que la salida sería imaginario. Si limitamos el dominio de $x$ a los números racionales con denominadores impares

Aquí hay dos ejemplos

$(-2)^{2/5} = \left(\sqrt[5]{-2}\right)^2 \approx 1.3195$

$(-2)^{3/5} = \left(\sqrt[5]{-2}\right)^3 \approx -1.5157$)

debemos ser capaces de calcular $f(x)$ para todos los números. Me gustaría, a continuación, pensar en el gráfico sería algo como

Curioso cómo visualizar la trama, incluyendo el imaginario salidas al $x \in \mathbb{R}$

Wolfram Calcula el resultado de las principales raíces

Pregunta: ¿Cómo puede usted visualizar e interpretar $f(x) = (-2)^x$, mientras que la incorporación de la real raíz de la salida presenté anteriormente? O, alternativamente, ¿qué hay de malo con esto?

Wolfram|Alpha dice que no tiene propiedades como una función real que tiene sentido dado el dominio restringido necesarios para calcular las salidas reales. ¿Hay algún error en pensar que con las restricciones de dominio me especificados anteriormente ($x$ todos los racionales los números de tal manera que $x = a/b$ donde $b$ es impar) el resultado sería similar a mi parcela de arriba?

Es allí una manera de visualizar -- o aún mejor, explicar el comportamiento de esta función para todos los números reales $x$? Si añadimos en un eje imaginario, se podría utilizar para mostrar los resultados cuando tenemos que calcular el imaginario de salida?

Answer 1

La siguiente es una variación de la visualización de la función de $x^x$ que he descrito en esta respuesta.

No es claro para mí cómo explicar a los niños de la escuela intermedia, aunque. Específicamente, si se quiere explicar el WolframAlpha de salida para estudiantes de escuela intermedia, entonces ellos tienen que saber que $$(-2)^x = e^{x\log(-2)} = e^{x(\log(2) + i\pi)} = 2^x e^{xi\pi} = 2^x(\cos(\pi x)+i\sin(\pi x).$$ Tenga en cuenta que esta última expresión puede ser calculado en términos de real trigonométricas y funciones exponenciales. Supongo que la mayoría de los estudiantes de intermedia no son muy allá, pero, suponiendo que sus estudiantes, entonces podemos calcular de manera eficiente todo tipo de valores de su función. Por ejemplo, ¿cuál es $(-2)^{1/4}$? Bien, $$(-2)^{1/4} = \sqrt[4]{2}(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4) = \sqrt[4]{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\frac{i}{\sqrt[4]{2}}.$$ Podemos hacer su $(-2)^{\pi}$, así. $$(-2)^{\pi} = 2^{\pi}(\cos(\pi^2)+i\sin(\pi^2)) \approx -7.96618 - 3.7974 i.$$

Ahora, si podemos aceptar esto, el Wolfram Alpha trama es una simple cuestión de que el trazado de la parte real de la $f(t)=(-2)^t$ junto con la parte imaginaria, ambos en el mismo conjunto de ejes.

Tenga en cuenta que el imaginario gráfica cruza el eje horizontal a la derecha en los enteros y esto explica algunos de los verdaderos valores de $(-2)^x$. ¿Qué acerca de los otros valores? Bueno, resulta que el logaritmo complejo tiene muchas ramas correspondientes al hecho de que la función exponencial es periódica en el complejo de la dirección. Esto se puede atribuir en nuestra fórmula para $(-2)^x$ por escrito $$(-2)^x = e^{x\log(-2)+2ki\pi} = e^{x(\log(2) + i\pi+2ki\pi)} = 2^x e^{i(2k+1)\pi x} = 2^x(\cos((2k+1)\pi x)+i\sin((2k+1)\pi x)).$$ Así, tenemos un gráfico diferentes para cada una de las $k$. Si graficamos estas en secuencia, obtenemos algo así:

Si dibujamos sólo los puntos para un número de estos, se obtiene una imagen que es algo así como su gráfico azul.

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Como en mi otra respuesta, podemos paramétrica trazar cada curva de $(t,\text{Re}(f_k(t)),\text{Im}(f_k(t)))$ en 3D. El resultado se ve así:

El grueso de ruta de acceso es la denominada rama principal, donde $k=0$. Los otros caminos son otras de las ramas. Desde esta perspectiva, los puntos donde se $f(t)$ podría ser considerado como real surgir como puntos en los que uno de los caminos por los pinchazos de la $xy$-plano.

Answer 2

Hay un par de cosas que están pasando. Saltar a la final para la discusión de los números complejos y qué es exactamente lo WolframAlpha es conspirar.

1. Cuando se hace una gráfica de la función, WolframAlpha y la mayoría de trazado de los sistemas no se limitan a especial de entradas como "sólo los números racionales con denominador impar."

2. Incluso si usted trate de usar un denominador impar, la mayoría de los software de cómputo se resisten o dar algún tipo de respuesta compleja por un número negativo a una potencia fraccionaria. Esto es debido a que internamente es representado como un decimal y eso realmente no tiene sentido averiguar si "originalmente" había par o impar denominador.

3. Con los números impares denominador e incluso numerador son densos, significado dado cualquier número real y cualquier error de tolerancia, usted puede encontrar un racional de esta forma cerca de la cifra real, dentro de la tolerancia a errores. Del mismo modo, con los números impares denominador impar numerador son densos.

4. ¿En qué punto (3) significa que el gráfico, si el gráfico es sólo para el denominador impar, sería salto de ida y vuelta infinitamente a menudo entre las dos curvas que usted dibujó.

He aquí una gráfica de línea de $(-2)^x$ $x$ racional con denominador $11$. Es decir, la representación del sistema de puntos trazados y luego dibujó entre líneas consecutivas.

He aquí un punto de la trama de $(-2)^x$ $x$ racional con denominador $11$. Es decir, la representación del sistema sólo se trazan los puntos y no dibujar líneas entre ellos.

Hice estas explícitamente diciendo que la conspiración de programa sólo para graficar esta para $x$ racional con denominador $11$. De hecho, la representación del sistema que he usado quería volver NaN (no un número) para esto, como se discutió en el punto (2) anterior, así que yo tenía que elevar $2^x$ y, a continuación, poner en el signo apropiado.

En cualquier caso, es típico acaba de decir que no levanten los números negativos fraccional de poderes esperando un resultado real, excepto en casos especiales, como cuando tenemos un poder fijo en la mente, como la toma de raíces cúbicas específicamente (cuando se inicia la variación de la potencia, que es cuando empiezan los problemas). Pero esto es lo que está pasando con cómo te gustaría que este representa.

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En cuanto a lo que exactamente WolframAlpha está haciendo:

Se trata de tomar $f(z) = (-2)^z$ informática y una rama de esta función. Piense en esto como una posibilidad. Por ejemplo la función de raíz cuadrada tiene dos ramas, una de las cuales es positivo en los números reales positivos (a esto le llamamos la rama principal de la función de raíz cuadrada), y el otro es negativo en positivo reales.

La rama está tomando? Se trata de tomar $f(z) = e^{z \log(-2)}$ y, a continuación, utilizando la rama principal del logaritmo complejo. Aquí está una WolframAlpha parcela de eso, que es idéntica a la suya (excepto las parcelas con diferentes límites por defecto). Note que dado que la rama es elegido: $f(z) = e^{z (\log(2) + i\pi)}$.

Para $z = x$ real, esto es $e^{x\log(2)}e^{xi\pi} = 2^x (\cos(x\pi) + i \sin(x\pi)) = 2^x\cos(x\pi) + i\, 2^x\sin(x\pi)$, lo que explica el comportamiento oscilatorio de las partes real e imaginaria.

Las otras ramas de la compleja logaritmo están dadas por la adición de $2\pi i$ $e^{z (\log(2) + i\pi + 2\pi i k)}$ para cualquier entero $k$. Al $z = m/n$ es racional con denominador impar, si vamos a utilizar exactamente el $k$ de manera tal que el denominador es $n = 2k+1$ a continuación se obtienen $e^{\frac{m}{n} (\log(2) + (2k+1) i\pi)} = e^{\frac{m}{n} \log(2)} e^{m i \pi} = 2^{m/n} (-1)^m$. Esta es la sección a la que he utilizado para el trazado de arriba (con $n = 11$ y, por tanto,$k = 5$) y es positivo o negativo dependiendo de si $m$ es par o impar. De hecho, es perfectamente continua en el plano complejo (lejos de su rama de corte), y sólo oscila muy rápidamente a causa de la $2k+1$ factor. Si cambiamos el denominador a un diferente número impar, sin embargo, estamos cambiando $k$, y ya no es la misma sucursal en la que explica por qué la función que nos gustaría trama oscila infinitamente a menudo de ida y vuelta entre valores positivos y negativos y no es continua.

Answer 3

Hay un problema con números negativos haber exponentes racionales que deben dar resultados reales. Por favor, eche un vistazo a math.stackexchange.com/questions/956541

En síntesis, se tiene:

$$-27=(-27)^{((2/3)(3/2))}=((-27)^{2/3})^{3/2}=9^{3/2}=27$$