Ejemplo de un functor que conserva todos los límites de los pequeños, pero no tiene la izquierda adjunto

Question

El General Adjunto Functor Teorema (Categoría de Teoría) afirma que para que un local pequeño y completo de la categoría $D$, un functor $G\colon D \to C$ tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si $G$ conserva todos los límites de los pequeños y para cada objeto $A$ en $C$, $A \downarrow G$) tiene una débil conjunto inicial.

Podría alguien ayudar dando un ejemplo de un functor $G$ que conserva todos los límites de los pequeños, pero no tiene la izquierda adjunto?

Answer 1

Un ejemplo no trivial se menciona en MacLane de Categorías para el Trabajo Matemático , en la página 123: considerar la categoría de $\mathbf{CompBool}$ completa de álgebras booleanas. El olvidadizo functor $\mathbf{CompBool} \to \mathbf{Set}$ no tiene a la izquierda adjunto, pero conserva todos los límites ($\mathbf{CompBool}$ es también pequeño-complete). La razón es que, dado un conjunto numerable $D$, se puede construir arbitrariamente un gran completar álgebra Booleana generado por $D$ (un hecho que al parecer fue demostrado por Solvay en 1966), y de modo que el conjunto de soluciones condición en la General de POPA falla.

Answer 2

Martin respuesta es, probablemente, el que quieras, pero aquí es otra marginalmente ejemplo trivial.

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría y deje $\mathbf{1}$ ser el terminal de la categoría con un solo objeto y uno de morfismos. La única functor $G : \mathcal{C} \to \mathbf{1}$ obviamente conserva todos los límites, sino $G$ tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si $\mathcal{C}$ tiene un objeto inicial. Doblemente, $G$ conserva todos colimits y tiene derecho adjoint si y sólo si $\mathcal{C}$ tiene una terminal de objeto.