Evaluar $\lim_{x\to 1^{+}}(\sqrt{x}-1)^{x^2+2x-3}$ el uso de L'Hôpital

Question

Me han resuelto antes de que los problemas con la Regla de L'Hospital, pero este me está dando un dolor de cabeza... Aquí está:

$$\lim_{x\to 1^{+}}(\sqrt{x}-1)^{x^2+2x-3}$$

Sé que en primer lugar usted necesita para $ \log$ así que usted puede conseguir el $x^2+2x-3$ por adelantado y, a continuación, encontrar la derivada hasta que ya no es $0/0$ o $\infty/\infty$, pero estoy haciendo todo eso y todavía no puede encontrar la solución. Si alguien puede resolver se lo agradecería muchísimo. Gracias

Answer 1

Es mejor hacer algún trabajo más, antes de recurrir a el teorema de l'Hôpital

Tienes razón en tomar el logaritmo, por lo que usted quiere mirar $$ \lim_{x\1^+}(x^2+2x-3)\log(\sqrt{x}-1) $$ En primer lugar tenga en cuenta que $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$, por lo que se puede considerar $$ \lim_{x\1^+}(x-1)\log(\sqrt{x}-1) $$ y que se vuelva a introducir el factor de $x+3$ más tarde. Para este límite, usted puede hacer la sustitución de $\sqrt{x}-1=t$, lo $x=(t+1)^2$ y el límite se convierte en $$ \lim_{t\to0^+}(t+2)t\log t $$ Ahora $$ \lim_{t\to0^+}t\log t=\lim_{t\to0^+}\frac{\log t}{1/t} \desbordado{*}{=} \lim_{t\to0^+}\frac{1/t}{-1/t^2}= \lim_{t\to0^+}(-t)=0 $$ (aplicación de l'Hôpital marcados con $*$).

Por lo tanto $$ \lim_{x\1^+}(x-1)\log(\sqrt{x}-1)= \lim_{t\to0^+}(t+2)t\log t =\lim_{t\to0^+}(t+2)\cdot \lim_{t\to0^+}t\log t=0 $$ y así $$ \lim_{x\1^+}(x^2+2x-3)\log(\sqrt{x}-1) = \lim_{x\1^+}(x+3)\cdot\lim_{x\1^+}(x-1)\log(\sqrt{x}-1) =0 $$

Finalmente, su límite original es $$ \lim_{x\1^+}(\sqrt{x}-1)^{x^2+2x-3}=e^0=1 $$

---

Puedes hacerlo directamente con la sustitución anterior: $$ \lim_{x\1^+}(\sqrt{x}-1)^{x^2+2x-3}= \lim_{t\to0^+}t^{t(t+2)((t+1)^2+3)}= \lim_{t\to0^+}(t^t)^{(t+2)((t+1)^2+3)}=1^8=1 $$ debido a $\lim_{t\to0^+}t^t=1$.

Answer 2

Si se toma el registro de la misma, se convierte entonces en $\lim_{x\to1^+} (x^2+2x-3)\times \ln(\sqrt{x}-1)$.

Entonces usted necesita para volver a escribir como $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y, a continuación, utilizar la de L'Hospital de la Regla.

Así que usted puede reescribir esto como $\lim_{x\to1^+}\frac{x^2+2x-3}{\frac{1}{\ln(\sqrt{x}-1)}}$ o $\lim_{x\to1^+} \frac{\ln(\sqrt{x}-1)}{\frac{1}{x^2+2x-3}}$.

A continuación, puede utilizar la Regla de L'Hospital en tanto el numerador y el denominador.

Answer 3

Primera simplificar,

$$\lim_{x\to 1^{+}}(\sqrt{x}-1)^{x^2+2x-3}=\lim_{x\to 1^{+}}\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\right)^{(x-1)(x+3)} =\lim_{t\to0^+}\frac{(t^t)^4}{2^0}.$$

Entonces por L'Hospital, después de tomar el logaritmo,

$$\lim_{t\to0^+}\ln(t^t)=\lim_{t\to0^+}\dfrac{\ln(t)}{\dfrac1t}=\lim_{t\to0^+}\frac{\dfrac1t}{-\dfrac1{t^2}}=0.$$

Answer 4

Aviso $$(\sqrt{x} - 1)^{x^{2} + 2x - 3} = ((\sqrt{x} - 1)^{x-1})^{x + 3}.$$

Ahora $$lim_{x \rightarrow 1^{+}} \ln((\sqrt{x} - 1)^{x-1}) = - lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\ln (\sqrt{x} - 1)}{(1-x)^{-1}} =^{L'H} lim_{x \rightarrow 1^{+}} (\frac{1}{2\sqrt{x}})(1-x)^{2}(1-\sqrt{x}) = 0,$$

así $$lim_{x \rightarrow 1^{+}}(\sqrt{x} - 1)^{x^{2} + 2x - 3} = e^{0^{4}} = 1.$$

Answer 5

Creo que las cosas simpify mediante la conversión en el límite de uno por $x\to0^+$: $$ \lim_{x\to 1^+}(\sqrt x -1)^{x^2+2x-3} = \lim_{x\to 0^+}(\sqrt{x+1}-1)^{(x+1)^2+2(x+1)-3}. $$ Ahora $$ \lim_{x\to 0^+}(\sqrt{x+1}-1)^{x^2+4x} =\exp\left(\lim_{x\to 0^+}\left((x+4)x\ln(\sqrt{x+1}-1)\right)\right) $$ y podemos estimar que cerca de $x=0^+$ $$ x\ln(\sqrt{x+1}-1)=x\ln\left(x\,(\estilo de texto\frac12+o(x)\right) =x\bigl(\ln(x)-\ln2+o(x)\bigr), $$ que, desde la $\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$, tiene límite de $0$$x=0$.

A continuación, el límite original se convierte en $\exp(4\times0)=1$.

En este enfoque no encontré la ocasión para aplicar la Regla de l'Hôpital, a pesar de que uno podría invocar para demostrar que $\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$.