La velocidad tiene que ser medido en relación a algo. Podemos medir nuestra velocidad radial en relación a cualquier otro objeto astronómico a nosotros nos importa, mediante la medición de desplazamientos Doppler. Pero si quieres saber nuestra velocidad "en relación con el Universo como un todo", en lugar de en relación a cualquier objeto, tenemos que ser un poco cuidadoso al definir nuestros términos.
Debido a que el Universo parece ser aproximadamente homogénea e isotrópica, tiene sentido definir un "marco del resto" en cualquier momento dado. (El resto de marcos en diferentes puntos en movimiento con respecto a cada uno de los otros -- que es lo que significa decir que el Universo se está expandiendo.) Este "marco del resto" es, esencialmente, el marco en el cual la materia que rodea ese punto parece estar moviéndose isótropa (la misma en todas las direcciones). En la práctica, la mejor forma de definir que el resto de marco es encontrar un marco en el que el fondo cósmico de microondas, aparece la misma en todas las direcciones (no tiene momento dipolar, para ser precisos). En relación a este marco, el grupo local de galaxias se está moviendo a unos 600 km/s (Wikipedia da números precisos y, probablemente, las citas que yo soy demasiado perezoso para mirar hacia arriba).
La gente a veces se preocupan de si la existencia de una preferido de descanso "marco" de este tipo está en conflicto con el principio de la relatividad. La respuesta es que no. Hay un par de maneras de ver por qué. Uno es para nota de que el principio de la relatividad dice que las leyes de la física no tienen preferido de marcos, pero soluciones particulares a las leyes pueden tener preferido marcos. Otra manera de decirlo, que yo prefiero, es que el "resto marco" que utilizamos en la cosmología es simplemente el centro de impulso de la estructura de un grupo de partículas (es decir, los fotones CMB en nuestro barrio). En otros contextos, no estamos sorprendidos y preocupados por el hecho de que un grupo de partículas que tienen un marco del resto, así que ¿por qué debemos preocuparnos por aquí?