Unipotentes algebraicas lineales grupos

Question

Deje $U_1$ ser un unipotentes grupo dentro de algunos Chevalley grupo $G$. Por ahora, creo que de $G$ como $SL_n(K)$ donde $K$ es un campo, entonces podemos tomar $U_1$ a ser un montón de estrictamente triangular superior matrics. Asumir si te gusta ese $K$ es algebraicamente cerrado.

Ahora supongamos que $U_1$ es normalizado por no trivial de torus $T_1$. Hay afirmaciones generales que pueden hacerse acerca de la estructura de $U_1\ ?$

Por ejemplo: supongamos que $T_1$ $1$- dimensional, como este es el caso limitante. Sospecho que el siguiente es cierto: si $r(t)$ no es igual a $s(t)$ para todos los positivos raíces $r,s$, y todos los elementos $t$$T_1$, $U_1$ es un producto de la raíz de los subgrupos.

No he escrito una prueba de esta afirmación, pero los garabatos sugiere que es cierto! De hecho, sospecho que es cierto de $T_1$ contiene NINGÚN elemento $t$ que satisface la condición dada. Me gustaría una declaración más general: abarca el caso en que $r(t)=s(t)$ particulares positivo raíces $r$$s$.

Debo señalar que yo tienden automáticamente ignorar pequeña característica de los casos! Suceden cosas divertidas en esta situación...

Answer 1

Sea U ser un suave conectado unipotentes grupo a través de un campo arbitrario k, y sea T un k-split k-toro equipado con una acción izquierda en U tal que el T-acción en la Mentira(U) contiene ninguna ocurrencia de la trivial de peso. En el "clásico" caso cuando el peso espacios son 1-dimensional y no dos diferentes pesos son positivos racionales múltiples de cada hecho U como un esquema es un producto de "los grupos de la raíz" (en virtud de la multiplicación, en el orden que uno desee). De manera más general, U es un T-equivariant producto directo de grupos U_i que a su vez admite un T-equivariant composición de la serie {U_{ij}} cuyos sucesivos cocientes U_{ij}/U_{i,j+1} son vectores grupos de admitir a una única estructura lineal relativa a la que T actúa a través de un único carácter (aumento positivos múltiplos de algunos fija de carácter no trivial de T según yo). En la "clásica" en caso de que esto da que cada U_i es G_a (como k-grupo), equipado con un lineal de T-acción. En el caso general, se sigue que U es necesariamente k-split como un unipotentes k-grupo (es decir, esto no tiene que ser asumida, en un principio, como si k es imperfecta).

Para una prueba, descansando en algunas elegantes ideas de Gabber, ver Prop. 3.3.6, Lema 3.3.8, y el Teorema de 3.3.11 en el libro "pseudo-reductora grupos". (En el Teorema de 3.3.11, tomar el \Psi_i que exista pesos agrupados de acuerdo a ser positiva racional de los múltiplos de cada uno de los otros en X(T)_Q.)

Answer 2

Asumir característica 0. No sé cuánto de esto se extiende a lo finito de característica.

Deje $\mathbf u$ ser la Mentira de álgebra de la unipotentes subgrupo $U$, e $\mathbf t$ que del toro (1 - dimensional o no, no importa).

Definir $\Delta(\mathbf g,\mathbf t)$ como los conjuntos de raíces de $\mathbf g$ w.r.t. $\mathbf t$ (la definición habitual está bien, incluso si $\mathbf t$ no es maximal, sin embargo la raíz de los espacios en general no se 1-dimensional). Deje $C$ denotar el centralizador.

Entonces usted tiene $\mathbf u=C_{\mathbf u}(\mathbf t)\oplus\sum \mathbf u_\alpha$$\alpha\in\Delta(\mathbf g,\mathbf t)$. Aquí $\mathbf u_\alpha=\mathbf u\cap\mathbf g_\alpha$ o, equivalentemente, el conjunto {$X\in\mathbf u\mid [H,X]=\alpha(H)X \forall H\in\mathbf t$}.

Vamos ahora a $\mathbf t_{max}$ ser un toro maximal que contiene a $\mathbf t$, e $\Delta(\mathbf g,\mathbf t_{max})$ el correspondiente sistema de raíces (esta es la "habitual" de la raíz del sistema). Un elemento $T$ $\mathbf t_{max}$ se llama regular si $\alpha(T)\neq\beta(T)$ $\alpha(T)\neq 0$ para todas las raíces $\alpha\neq\beta\in\Delta(\mathbf g,\mathbf t_{max})$.

Si el torus $\mathbf t$ contiene un elemento regular $T$, las raíces w.r.t. $\mathbf t$ están en bijection con los w.r.t. $\mathbf t_{max}$, y, en particular, la raíz de los espacios 1-dimensional. De ello se sigue que si $\mathbf u_\alpha\neq 0$$\mathbf u_\alpha=\mathbf g_\alpha$, e $\mathbf u$ es una suma de la raíz de los espacios.

Answer 3

Si $T_1$ es algo así como tener la primera entrada de la diagonal en $GL_n(k)$ permitido ser cualquier cosa en la que no sea cero los elementos del campo de $k$, es decir,$k^*$, con el resto de los elementos de la diagonal $1$, luego de la normalización es $GL_{n-1}$. Ahora todas las raíces que vienen de esta $GL_{n-1}$ han $r(t)=s(t)=0$ todos los $t\in T_1$. Y así que usted puede tener cualquier edad unipotentes grupo en $GL_{n-1}(k)$ le gusta. Este es un duro (incluso silvestres?) problema, y es similar (peor si no asumiendo $U$ está conectado) para la clasificación de todos los $p$-grupos, al menos en el carácter $p$. En el carácter $0$, seguramente no puede ser mucho mejor.