Teorema del valor medio de la segunda derivada

Question

Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ tal que $f'(x)>0,f''(x)>0$ para todos $x\in[a,b]$ entonces $$\int_a^b e^{f(x)}\,dx\le (b-a)\frac{e^{f(b)}-e^{f(a)}}{f(b)-f(a)}$$

Mi progreso hasta ahora:

Tenemos $\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} e^{f(x)} =e^{f(\epsilon)}$ para algunos $\epsilon \in (a,b)$ .

Además, toma la función $e^x$ en el lado derecho, y aplicar el MVT de Lagrange para obtener $e^c$ para algunos $c \in (f(a),f(b))$ Entonces, nos queda demostrar que $e^{f(\epsilon)} \le e^c$ o $f(\epsilon) \le c$ . Estoy atascado aquí. No sé cómo utilizar el hecho de que $f''(x)>0$ .

Answer 1

Suponiendo que $[a,b]=[0,1]$ sin pérdida de generalidad, $f''\geq0$ significa $f$ es convexo, y por tanto $$f(x)\leq (1-x)f(0)+xf(1),$$ o, $$e^{f(x)}\leq e^{f(0)}e^{x(f(1)-f(0))}.$$ Por lo tanto, $$\int_0^1e^{f(x)}\leq e^{f(0)}\int_0^1e^{x(f(1)-f(0))}=\frac{e^{f(1)}-e^{f(0)}}{f(1)-f(0)}.$$ (En realidad $f'>0$ sólo se utiliza para que el denominador sea distinto de cero)