Si una serie converge, entonces la secuencia de términos converge a $0$.

Question

Siguiendo las pautas sugeridas en este meta de discusión, lo que voy a publicar una propuesta de prueba como una respuesta a el teorema siguiente. Creo que la prueba funciona, pero agradecería cualquier correcciones necesarias.

Teorema Si una serie de $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ de los números reales converge, a continuación, $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$

Answer 1

La prueba de Si la serie converge al número $L$, esto significa que la secuencia de sumas parciales converge a $L$, es decir, $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k = L. $$

Pero,

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n \to \infty}\left( a_n + \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right) = \lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} a_k, $$ sin embargo, como $n \rightarrow \infty$, la suma parcial $$ \sum_{k=1}^{n-1} a_k $$ también converge a $L$. Por lo tanto, la segunda ecuación se puede reescribir como $$ L = \lim_{n \to \infty} a_n + L \implica \lim_{n \to \infty}a_n = 0 $$ $\square$

Answer 2

Que la serie converge significa que la secuencia de sumas parciales

$$s_n=\sum_{k=1}^n a_k$$

converge. De ello se desprende que $(s_n)_n$ es una secuencia de Cauchy.

Ahora vamos a $\varepsilon>0$. Desde $(s_n)$ es una secuencia de Cauchy, existe un $N$ tal que $\lvert s_n-s_m\rvert<\varepsilon$ todos los $m,n\ge N$. En particular $$\lvert a_n\rvert=\lvert s_n-s_{n-1}\rvert<\varepsilon\qquad\text{for all $n> N$.}$$