Que me ayude a entender esta prueba (mostrando que algo es una norma).

Question

Estoy leyendo el siguiente artículo: Takáč, Pedro En la alternativa de Fredholm para el p-Laplaciano en el primer autovalor. Indiana Univ. De matemáticas. J. 51 (2002), no. 1, 187-237.

Necesito ayuda para entender el siguiente argumento (página 193 sección 2.1):

$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ es un almacén de dominio normal, $p\in (2,\infty)$. Deje $\phi_1$ ser la primera eigenfunction asociado con el problema $-\Delta_p u=f$$u\in W_0^{1,p}(\Omega)$, es decir, $$\int|\nabla\phi_1|^{p-2}\nabla\phi_1\nabla v=\lambda_1\int|\phi_1|^{p-2}\phi_1v,\ \forall\ v\in W_0^{1,p}$$

donde $\lambda_1>0$ os el primer autovalor. Podemos suponer que $\phi_1\in C^1(\overline{\Omega})$, $\phi_1>0$ en $\Omega$ $\frac{\partial\phi_1}{\partial\eta}<0$ $\partial\Omega$ donde $\frac{\partial\phi_1}{\partial\eta}$ representa la derivada en la dirección normal.

Definir en $W_0^{1,p}$ el semi-norma $$\|u\|_{\phi_1}=\Big(\int|\nabla\phi_1|^{p-2}|\nabla u|^2\Big)^{\frac{1}{2}}$$

El autor dice que, en realidad, $\|\cdot\|_{\phi_1}$ es una norma debido a la siguiente argumento: si $v\in W_0^{1,p}$, luego

\begin{eqnarray} \lambda_1\int\phi_1^{p-1}v^2 &=& \int|\nabla\phi_1|^{p-2}\nabla\phi_1\nabla(v^2) \nonumber \\ &\leq& 2\int|\nabla\phi_1|^{p-1}|\nabla v||v| \nonumber \\ &\le& 2\|v\|_{\phi_1}\Big(\int|\nabla\phi_1|^pv^2\Big)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}

Puedo entender las dos últimas desigualdades, y la voy a usar para demostrar que $\|\cdot\|_{\phi_1}$ es una norma. El problema es que la primera igualdad. El uso de la caracterización de la autovalor, tenemos que tomar en $u\in W_0^{1,p}$. ¿Por qué $v^2\in W_0^{1,p}$? Creo que él está usando este hecho, es esto cierto?

Answer 1

Para demostrar que $\Vert u\Vert_{\phi_1} = \left(\int |\nabla \phi_1|^{p-2}|\nabla u |^2\right)^{\frac 12}$ es una norma en $W_0^{1,p}$ más que un semi-norma, tenemos que demostrar que $\Vert u \Vert_{\phi_1} = 0$ implica $u=0$.

Suponga que $u\in W^{1,p}_0$ satisface $\Vert u\Vert_{\phi_1}=0$. Definir $u_M := \min(|u|, M)$$M>0$. A continuación,$\Vert u_M\Vert_{\phi_1}=0$$u_M \in W^{1,p}_0\cap L^\infty$. En particular, esto último implica que los $u_M^2\in W^{1,p}_0$ (con $|u_M|^p \le |u|^p$$ |\nabla u_M^2|^p = 2^p|u_M|^p|\nabla u_M|^p\le 2^pM^p |\nabla u|^p$) El argumento al final del post original (y la nuestra suposición sobre la $u$) muestra ahora que $$\lambda_1 \int \phi_1^{p-1} u_M^2 \le2 \Vert u_M \Vert_{\phi_1} \left(\int |\nabla \phi_1|^p u_M^2\right)^{\frac 12} = 0.$$ Esto es válido para cualquier $M> 0$. Desde $u_M^2\nearrow u^2$$M\to +\infty$, el teorema de convergencia dominada implica que $\lambda_1 \int \phi_1^{p-1} u^2 \le 0$. De ello se desprende que $u=0$, lo $\Vert \cdot \Vert_{\phi_1}$ es una norma.