La notación de funciones vs números

Question

Entiendo que $f$ representa una función al $f(x)$ representa el valor de una función, pero mientras yo pueda ver fácilmente cómo aplicar el presente convenio a trabajar con funciones en lugar de números en algunas circunstancias, por ejemplo, $$\sin(x)\text{ becomes } \sin\text{,}$$ $$\cos(x)\text{ becomes } \cos\text{, and}$$ $$g(x)\text{ becomes } g\text{,}$$ lo que no está claro para mí cómo expresar las funciones correspondientes a los números $$x^{2}\text{, or}$$ $$2\cdot x\text{.}$$

Corto de la definición de nuevos símbolos, como $S$ o $I$ (que he visto por la función que corresponde a $x \mapsto x$), se puede decir cosas como $$\left(\cdot\right)^{2}\text{ for }x^{2}\text{, or}$$ $$2\cdot \left(\cdot\right)\text{ or }2\left(\cdot\right)\text{ or }2\cdot\text{ for }2\cdot x\text{?}$$

¿Qué es en general el lenguaje para expresar dichas funciones de manera concisa?

Answer 1

Una buena pregunta. Existen varios enfoques.

Formalmente, en casos sencillos, tales como las descritas en la pregunta, usted puede conseguir lejos con dar un nombre a la función identity $\mathrm{Id}$ que devuelve su argumento sin cambios. Entonces, por analogía, digamos $\sin^2$, la función de que las plazas de su argumento se vuelve $\mathrm{Id}^2$ y la función que dobla su argumento es $2\,\mathrm{Id}$.

Si eres muy hábil, se puede incluso decidir el nombre de la función identidad "$x$", y declarar que todo es una función de una variable oculta con algún otro nombre. Que rápidamente puede ser confuso si usted tiene otras funciones con nombre de todo, sin embargo. Si tu audiencia está algebraists, probablemente le gusta este enfoque.

Una completa herramienta de campanas y los silbidos de la solución, sin embargo, es el uso de la aplicada cálculo lambda, en el que la función de que las plazas de su argumento es la notación $(\lambda x.x^2)$ o $(\lambda y.y^2)$ o $(\lambda z.z^2)$ ... obtener el patrón. La variable que sigue la $\lambda$ es obligado por la función de la expresión y no es visible en el exterior. Por lo tanto usted puede escribir $(\lambda x.x^2)(20)=400$. La notación también le permite escribir funciones que toman funciones como argumentos, como $(\lambda f.f(42))$ o funciones que devuelven otras funciones, tales como $(\lambda x.(\lambda y.x+y))$.

El cálculo lambda es una de las formaciones rocosas de ciencias de la computación, pero no mucho más utilizado por la matemática contemporánea-aunque fue originalmente inventado como un posible general de la fundación para las matemáticas antes de que los equipos fueron inventadas, incluso. Las matemáticas, a veces, utiliza notaciones como "... la función de $x \mapsto x^2$ ..."$(\lambda x.x^2)$, pero esto $\mapsto$ notación es rarly se utiliza dentro de las grandes expresiones.