Hay una teoría existente de ternas Pitagóricas para los números de la forma $p+q\sqrt r$ en lugar de números enteros?

Question

Antes de Navidad me estaba enseñando una clase sobre surds. Ellos fueron capaces de simplificar, sumar, multiplicar, etc.

Para darles una aplicación de este, quería darles un poco de triángulos que se tendría que identificar como en ángulo recto o no.

Yo quería evitar obvio múltiplos de costumbre entero ternas Pitagóricas, por lo que utiliza la fuerza bruta búsqueda de surds de la forma $p+q\sqrt2$ encontrar algunos como este:

$T_1: a=1+\sqrt2$, $b=1+\sqrt2$, $c=2+\sqrt2$

$T_2: a=2+\sqrt2$, $b=2+\sqrt2$, $c=2+2\sqrt2$

$T_3: a=1+2\sqrt2$, $b=1+2\sqrt2$, $c=4+\sqrt2$

$T_4: a=2+2\sqrt2$, $b=2+2\sqrt2$, $c=4+2\sqrt2$

$T_5: a=4+\sqrt2$, $b=4+\sqrt2$, $c=2+4\sqrt2$

$T_6: a=1+2\sqrt2$, $b=4+2\sqrt2$, $c=5+2\sqrt2$

$T_7: a=4+\sqrt2$, $b=4+4\sqrt2$, $c=4+5\sqrt2$

$T_8: a=2+\sqrt2$, $b=4+4\sqrt2$, $c=6+3\sqrt2$

Resulta que $T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$ son todos los múltiplos de cada uno de los otros - algunos más evidentes que otros.

$T_6$ $T_7$ son múltiplos uno de otro.

Esto plantea una serie de preguntas para mí:

1) Tiene que trabajar en este tipo de cosas ya se han hecho? Hay una buena obra de referencia sobre este tema?

2) ¿cómo se llaman estos tipos de números? Ellos no son enteros, pero no son "los enteros de Gauss" porque aquellos que toman la forma $x+yi$, mientras que yo quiero que el formulario se $p+q\sqrt r$

3) ¿hay una forma estándar de identificar la primitiva triples?

4) en Lugar de la fuerza bruta enfoque sé que puedo usar la costumbre de Euclides de la fórmula para generar, también, pero entonces, ¿qué es un "buen" conjunto de valores para empezar - y lo voy a lograr todas las primitivas de usar ese método?

5) también he leído de un conjunto de transformaciones que se generan todos los primitivos triples a partir de $(3,4,5)$ - puedo usar ese conjunto de transformaciones a partir de ...?

Answer 1

Aquí están algunas respuestas parciales:

• Primitivo Phythagorean Triples de los Enteros de Gauss, por James T. de la Cruz. Las Matemáticas De La Revista, Vol. 59, Nº 2 (Abr., 1986), pp 106-110 DOI: 10.2307/2690428.

• Un Anillo de Ternas Pitagóricas sobre Cuadrática Campos, por C. Somboonkulavudi y A. Harnchoowong. Ucraniano Matemática Diario, Junio 2014, Volumen 66, número 1, pp 153-159 DOI: 10.1007/s11253-014-0918-7

El primer artículo dice:

La primitiva ternas Pitagóricas en $\mathbb Z[\sqrt{-1}]$ son parametrizada por $(\frac{a^2+b^2}{2},\frac{a^2-b^2}{2i},ab)$ donde $a,b \in \mathbb Z(\sqrt{-1})$ son relativamente primos, con el positivo impar de piezas reales.

Answer 2

Uno de los casos más sencillos es el algebraico números enteros tener la forma$a+b\sqrt{-2}$, $a,b$ cada ordinaria enteros. Como muchos lectores saben que esta es una única factorización de dominio. Es también una paridad de dominio definido. Podemos definir el par/impar paridad de $a+b\sqrt{-2}$ as de $a$. El lector puede comprobar que esta definición encaja con la espera de relaciones:

(impar)+(impar) = ()+() = (incluso)

(impar)+() = ()+(impar) = (impar)

(impar)x(impar) = (impar)

(impar)x () = () x(impar) = () x () = (incluso)

El dominio también contiene uno incluso prime, $\pm \sqrt{-2}$, que es un factor común de todos los elementos.

Podemos argumentar de la misma manera como lo hacemos para el común de los números enteros. Una primitiva triple $(x, y, z)$ debe contener dos impares e incluso uno de los elementos, así que estamos seguros de que la hipotenusa $z$ y al menos en una pierna $x$ han opuesto a la paridad. Desde $(z+x)(z-x)=y^2$ es el producto de dos impares factores que deben ser relativamente primos, tenemos

$z+x =m^2$

$z-x = n^2$

con $m, n$ impares y primos relativos. A continuación, tenemos la fórmula que se aplica a los números enteros:

$x = (m^2-n^2)/2$

$y = mn$

$z = (m^2+n^2)/2$.

Por ejemplo, podemos tomar la $m = 1, n = 1+\sqrt{-2}$ conseguir $(x, y, z)=(1-\sqrt{-2}, 1+\sqrt{-2}, \sqrt{-2})$.
A diferencia de la ordinaria enteros, este dominio permite incluso una primitiva hypoteneuse, pero esto no tiene ningún impacto en el análisis.

Curiosamente, no podemos aplicar este método a todos los cuadrática Ufd porque no podemos definir generalmente de paridad. Intente por algebraica de los números enteros tener la forma $a+b \sqrt{-3}$.

Answer 3

Si usted toma algo como $X = x+y\sqrt n$$Y = a + b\sqrt n$, $(X+iY)^2$ le dará un triplete de pitágoras.