Libros de texto de Geometría Diferencial para alguien interesado en la Geometría Algebraica

Question

En los próximos dos semestres voy a tomar cursos de Geometría Algebraica en los que se supone que cubrimos casi todo Hartshorne. Tengo la formación algebraica adecuada; sin embargo, como sostienen algunas personas, es instructivo conocer un poco de geometría diferencial de antemano para crear cierta intuición relacionando los nuevos conceptos abstractos de la geometría algebraica con sus respectivos análogos, "más fáciles de tratar", en la geometría diferencial.

Resulta que lo más lejos que he llegado en geometría diferencial fue sólo un curso de cálculo multivariable y un curso de curvas y superficies a nivel de Notas de Shiffrin . También he estudiado grupos de Lie, y al hacerlo he evitado toda la geometría diferencial que he podido, pero conozco lo inevitable: definición de variedades, submanifolds, rango constante, inmersiones, submersiones, espacio tangente, pero admito que me gustaría estar más cómodo con ellos.

Siempre que miro un libro de texto de Geometría Diferencial - Lee, Spivak, Lang, Kobayashi (los que hay hasta ahora), todos son o muy largos, o más cortos pero demasiado avanzados. Y el lenguaje de la geometría diferencial es, en mi opinión, un desastre. ¿No sería más fácil si tuviéramos algo así como un enfoque teórico de categorías como el que tenemos hoy en día en la topología algebraica?

Perdón por el desvarío del último párrafo, volviendo a mi punto original. Estoy buscando un libro de texto de Geometría Diferencial que esté hecho para alguien que tenga más intuición algebraica pero que aún quiera entender el panorama geométrico. Tal vez sería:

• Un libro de Geometría Diferencial con vistas a la Geometría Algebraica, o
• Un libro de Geometría Algebraica dirigido a la Geometría Diferencial, pero no tan avanzado como para que una persona con mi formación pueda seguirlo, o
• La temida respuesta, no la hay y la única forma de aprender Geometría Diferencial es empollando los clásicos.

Gracias.

Answer 1

Un texto muy bueno, conciso y completamente moderno sobre geometría diferencial es el de Gerard Walschap Estructuras métricas en geometría diferencial .

Lo que se busca es un libro de geometría diferencial relativamente corto y muy legible, con una amplia cobertura, un lenguaje moderno y unos requisitos mínimos. Un libro así, por necesidad, trasladaría la mayor parte de los resultados a los ejercicios y, por tanto, crearía un texto con el que el estudiante de posgrado tendría que aprender activamente. Esto no sólo permitiría al estudiante aprender el tema rápidamente, sino que le ayudaría a aclimatarse a la escuela de posgrado sin ser demasiado desalentadoramente denso. Tendría que tener definiciones claras, secciones divididas en trozos del tamaño de un bocado y un par de diagramas bien colocados no estarían de más.

Si eso es lo que busca, no puede hacerlo mejor que Walschap. En apenas 226 páginas, Walschap hace que el estudiante recorra todas las grandes líneas del tema sin que se le nublen los ojos, lo cual es toda una hazaña. Abarca las variedades diferenciables, el álgebra multilineal y las formas, los haces vectoriales y de fibras, los grupos de homotopía sobre esferas (un tema difícil sin topología algebraica, pero Walschap hace un buen trabajo cubriendo sólo lo esencial), las estructuras de conexión sobre haces como las estructuras riemannianas y el libro termina con una introducción elemental a la geometría diferencial compleja y las clases características. Walschap se esfuerza por mantener los requisitos previos al mínimo: un buen conocimiento del análisis real, la topología de conjuntos de puntos y el álgebra. El autor introduce la topología algebraica sólo cuando es necesario. Por ejemplo, el grupo fundamental se introduce como un caso especial de los grupos de homotopía. Otro ejemplo es que la cohomología no se utiliza en las clases características, sino que se construyen directamente utilizando el homomorfismo de Weil. Esto es más anticuado y complicado algebraicamente, pero conceptualmente más sencillo.

El lenguaje del libro es completamente moderno, se utilizan diagramas conmutativos en todo el libro. La verdadera alegría del libro son los cientos de ejercicios integrados: todos son sustanciales y ninguno es demasiado difícil. Una gran parte del material se desarrolla en estos ejercicios, por lo que el estudiante realmente necesita trabajar con ellos. Pero trabajar con ellos es la mitad de la diversión, y el hecho de que Walschap haga que los ejercicios sean divertidos es una medida de su habilidad como profesor.

Answer 2

¿Qué tal si Manifolds, sheaves, and cohomology de Wedhorn (se puede comprar como libro, con el mismo título que los apuntes)? Aunque no trata temas profundos de la geometría diferencial, define los colectores como espacios anillados.

Answer 3

Si quieres algo que enfatice las estructuras matemáticas algebraicas en general que sustentan la geometría diferencial, algo moderno, abstracto y conceptual, entonces "Operaciones naturales en geometría diferencial" de Ivan Kolár, Peter W. Michor y Jan Slovák es lo que necesitas. Te advierto, sin embargo, que después de algún contacto con él quizá quieras volver a una presentación más tradicional, ¡porque tu intuición visual se resentirá mucho! Por otro lado, si te gustan los esquemas, quizá también te sientas cómodo con éste.