Encontrar todos los factores primos de a $1000027$

Question

Encontrar todos los factores primos de a $1,000,027$.

Tengo todos los factores a través de las pruebas de cada número de $1$$103$: P, pero cuando intento hacerlo usando álgebra, me quedo atascado.

Mi trabajo:

$$1000027$$

$$=(100+3)(100^2-3\cdot100+3^2)$$

¿Cómo puedo simplificar aún más?

Answer 1

Vaya con la suma de los cubos y el factor de la $103$ cosa (que ya lo hizo), a continuación, observe que A $100^2-3\cdot100+3^2= \\ =100^2+2\cdot3\cdot100+3^2-3\cdot3\cdot100=\\ =(100+3)^2-30^2$$ a continuación, factor como una diferencia de cuadrados. A continuación, usted solo tendrá que facturar $133=7\cdot19$ a mano y comprobar que todo lo demás es primo.

Vamos a pensar en ello, este podría ser un ejemplo de Aurifeuillean de la factorización. Prácticamente todo el mundo sabe que $x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$. Ahora hemos utilizado (redescubierto, si quieres) más complicado de la misma especie: $$x^6+27=(x^2+3)(x^2+3x+3)(x^2-3x+3)$$

Answer 2

Creo que el único paso importante es la primera.

Si usted quiere encontrar los factores primos de a $73\times 103$ va a ser difícil, porque tienes que probar todos los números primos hasta el $73$.

Por otro lado, una vez que encuentre el factor de $103$, factoring $7\times 19\times 79$ es fácil por la fuerza bruta, debido a que los factores de $7$ $19$ se encuentran muy rápido, y luego resulta que $79$ es primo se realiza de forma rápida también.

Answer 3

Primero que todo queremos usar $$a^3-b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

nos encontramos con $1000027=103 \cdot 9709$

a continuación, queremos aprovechar $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Con una inteligente observación vemos que $$9709=10609-900=(103+30)(103-30)=133\cdot 73$$

que puede ser factorizado con facilidad!

Answer 4

Para comenzar con la nota que

$1000027 = 100^3 + 3^3 = (100+3)(100^2−3⋅100+32) = 103 \cdot 9709 = 103 \cdot (1001 \cdot 9 + 700) = 103 \cdot 7 \cdot (13 \cdot 11 \cdot 9+100) = 103 \cdot 7 \cdot 1387$

donde hemos utilizado el hecho bien conocido de que $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$

Entonces supongo que $1387$ es lo suficientemente pequeño como para factor de casos de prueba. Con conocidas reglas de divisibilidad podemos ver rápidamente de que $2,3,5,7$ $11$ no son los factores primos de a $1387$. También se $13$ pueden ser despedidos desde $13 \nmid 87$. También se $1387 = 1700-313 = 1700 -340 + 27$, y, por tanto,$17 \nmid 1387$. A continuación, las pruebas de $19$ vemos que $1387 = 1900 - 513 = 1900 - 570 + 57$, y, por tanto,$19 \mid 1387$.

Entonces es sencillo comprobar que $1000027 = 7 \cdot 19 \cdot 73 \cdot 103$

Answer 5

Utilice el hecho de que $73 \times 137=10001 = 10^4+1$.

Ahora, marcar el número en grupos de cuatro dígitos a partir de la derecha, y agregar los grupos de cuatro dígitos junto con la alternancia de signos.

La aplicación de la regla anterior, $1000027$, en los grupos de $4$ es $\underbrace{0100}$ $\underbrace{0027}$. La adición de los grupos que se alternan los signos da $73$. Por lo tanto, $1000027$ es divisble por $73$ e da $13699$ como el cociente.

Para $13699$ aplicar la divisbility prueba por $7$ mediante el marcado de los dígitos en grupos de a $3s$ a partir de la derecha y añadir junto con la alternativa de signos. Por lo tanto, la adición de los grupos $\underbrace{013}$ $\underbrace{699}$ con la alternativa de señales de da $686$ que es divsible por $7$ y, por tanto, $13699$ es disvisble por $7$

$13699$ cuando se divide por $7$ da $1957$.

Ahora, $1957$ $1900+57$ y por lo tanto es divisible por $19$ dando el cociente como $103$.

La combinación de todos ellos da $1000027 = 7\times19\times73\times103$