Vamos $a$, $b$ y $c$ ser no negativo números de tal manera que $ab+ac+bc\neq0$. Probar que: $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq1+\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2(ab+ac+bc)}$$ Traté de C-S, uvw, BW y más, pero sin éxito.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
@Michael Rosenberger Gracias, aquí está mi $0.02:
Escribir todo de la desigualdad en términos de $ab, ac, bc$:
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{ac}{ac+bc}+\frac{ab}{ab+ac}+\frac{bc}{bc+ab}$$
A continuación, utilice la siguiente desigualdad demostrado aquí - como un Lema en el interior de Andreas la respuesta:
$$ \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq 1+\frac{3\sqrt[3]{a \, b \ c}}{2(a+b+c)}$$
para $a\leftarrow ac$, $b\leftarrow ab$, $c\leftarrow bc$
Eso es todo.
Barry
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18913
Esta prueba he encontrado un par de minutos.
Tengo la esperanza de que hay algo más agradable.
Vamos $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$, $abc=w^3$ y $v^2=xw^2$.
Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)\geq\frac{w^2}{2v^2}-\frac{1}{2}$$ o $$\sum\limits_{cyc}(a-b)(a+c)(b+c)\geq\left(\frac{w^2}{v^2}-1\right)\prod_{cyc}(a+b)$$ o $$\sum\limits_{cyc}(a-b)c^2\geq\left(\frac{w^2}{v^2}-1\right)(9uv^2-w^3)$$ o $$(9uv^2-w^3)(v^2-w^2)\geq v^2(a-b)(b-c)(c-a)$$ y desde $v^2\geq w^2$, queda por demostrar que $$(9uv^2-w^3)^2(v^2-w^2)^2\geq v^4(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$$ o $$(9uv^2-w^3)^2(v^2-w^2)^2\geq 27v^4(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6)$$ o $f(u)\geq0$, donde $$f(u)=108v^4w^3u^3-81v^4w^2(2v^2-w^2)u^2-18v^2w^3(10v^4-2v^2w^2+w^4)u+$$ $$+108v^{10}+28v^4w^6-2v^2w^8+w^{10},$$ que dice que para $u_{min}$ obtenemos la siguiente ecuación: $$324u^2v^4w^3-162v^4w^2(2v^2-w^2)u-18v^2w^3(10v^4-2v^2w^2+w^4)=0,$$ lo que da $$u_{min}=\frac{6v^3-3vw^2+\sqrt{36v^6+44v^4w^2-7v^2w^4+8w^6}}{12vw}$$.
Por lo tanto, queda por demostrar que $f\left(u_{min}\right)\geq0$, lo que da $$648x^5-396x^4+342x^3+107x^2+20x+8\geq\sqrt{x(36x^3+44x^2-7x+8)^3}$$ o $$(x-1)^2(5832x^8+972x^7+2646x^6+1477x^5+581x^4+105x^3+51x^2-x+1)\geq0.$$ Hecho!
