Esta pregunta vino a mi mente gracias a esta pregunta que me pareció muy interesante (y hermoso! Como el matemático Philippe Caldero dijo en su libro Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries "Vamos a parar un momento para contemplar la belleza de las matemáticas, que es después de todo, el punto de figuras".).
La idea es realizar un paseo siguiendo las siguientes reglas:
Inicialización: Se inicia en el punto de $(0,0)$ que corresponden al entero $n=0$, y usted tendrá que caminar desde un punto de $\mathbb Z^2$ a otro. Se empieza por caminar a la derecha.
Horizontales de cada paso aumenta el número entero $n$$1$.
Al $n$ es igual a un número primo, usted toma un paso más, y cambiar la dirección en la que íbamos a (si estuviera caminando de izquierda a derecha, a pie de derecha a izquierda, y recíprocamente).
Para ilustrar las reglas, un dibujo puede ser más explícito:
$$\begin{matrix} & 7 & 8 & 9 & 10\\ & 7 & 6 & 5 \\ & 3 & 4 & 5 \\ & 3 & 2 & \\ 0&1&2& & \end{matrix}$$
O con líneas azules:
Ahora bien, nada nos impide ir un poco más lejos, lo que vamos a hacer hasta que $n=100$, y luego hasta la $n=1\,000$.
Parece que el pie está casi siempre en el lado derecho de la $y$-eje. A pesar de que el pie es el cruce del eje de un par de veces.
Caminemos hasta $n=10\,000$.
Entonces nos damos cuenta de que nos han cambiando por completo el lado del eje estábamos caminando.
El que levanta algunas preguntas:
Vamos a cruzar el $y$-eje infinitamente muchas veces?
Vamos a estar caminando como mucho en cada lado del avión? En el sentido de que si denotamos por a $L_n$ el conjunto de los enteros menores o iguales a $n$ en el lado izquierdo del avión y $R_n$ el conjunto de los enteros menores o iguales a $n$ en el lado izquierdo del plano:
$$\lim_{n\to\infty} \frac {L_n}n=\lim_{n\to\infty} \frac {R_n}n=\frac 12.$$
- Vamos a salir de cualquier verticales fijas de banda centrado en la $y$-eje?
A pesar de que cualquier otro resultado, dibujo (yo no tuve éxito en el dibujo para $n=10^5$), las referencias acerca de este paseo que sería de gran interés.
