Aplicaciones de los números complejos para resolver no de problemas complejos

Question

Recientemente le pregunté a una pregunta con respecto a la ecuación de diophantine $x^2+y^2=z^n$$x, y, z, n \in \mathbb{N}$, que para mi sorpresa fue contestada con la ayuda de los números complejos. Me parece fascinante que, por una cuestión que concierne sólo a los números enteros, y cuyas respuestas sólo pueden ser números enteros, en una elegante solución viene de la aparentemente sin relación de los números complejos - que buscan sólo en la cuestión de la solución y uno nunca podría sospechar que los números complejos estaban al acecho detrás de la cortina!

¿Alguien puede dar más ejemplos donde un problema que parece tratar en su totalidad con los números reales pueden ser resueltos utilizando números complejos detrás de las escenas? Otro ejemplo que viene a la mente, para mí, es la solución de un homogénea de segundo orden de la ecuación diferencial cuya coeficientes de forma de una ecuación cuadrática con raíces complejas, que en algunos casos da soluciones reales para los coeficientes reales, sino que requiere complejo aritmética para calcular.

(Si alguien está interesado, a la pregunta original, me pidió que se puede encontrar aquí: $x^2+y^2=z^n$: Encontrar soluciones sin Pitágoras!)

EDITAR:

Sólo quería agradecer a todos por el gran respuestas! Estoy trabajando mi camino a través de todos ellos, aunque algunos están más allá de mí por ahora!

Answer 1

Supongo que la más común en este sitio es una aplicación del Teorema de los Residuos. Que es:

$$\int_\gamma f(z) dz = 2\pi i \sum_k Res(f; z_k)$$

donde $f$ es una analítica de la función con sólo un número finito de singularidades aisladas $z_k$ dentro de una curva cerrada $\gamma$ en el plano complejo.

Mientras que este teorema es claramente un resultado de Análisis Complejo, lo cierto es que tiene muchos usos en el cómputo de las integrales a lo largo de la línea real. En efecto, mediante la construcción de $\gamma$ a ser semicircular contornos, que de inmediato se puede calcular el verdadero integral de la $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$ funciones $f(z)$ que son el complejo de la extensión real de los valores de $f(x)$ (como $f(z)$ desaparece como $|z|\rightarrow \infty$).

Este típico contorno $\gamma$ aparece como:

donde $j$ es una singularidad aislada de $f(z)$ y tomamos $a\rightarrow \infty$.

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He aquí un sencillo ejemplo. Tratamos de calcular la integral definida:

$$\int_{-\infty}^\infty \cfrac{dx}{(1+x^2)^2}$$

La definición de $f(z):= \cfrac{1}{(1+z^2)^2} = \cfrac{1}{(z+i)^2(z-i)^2}$ donde $z\in \mathbb{C}$, y el complejo de contorno $\gamma_a$ a ser el semicírculo en la parte superior a la mitad de plano, tenemos por el Teorema de los Residuos: $$\int_{\gamma_a} f(z) dz = 2\pi i Res(f; i) = \cfrac{2\pi i}{4i} = \cfrac{\pi}{2}$$

Ahora, señalando que como $|z|\rightarrow \infty, |f(z)| \rightarrow 0$, por lo que

$$ \cfrac{\pi}{2} = \lim_{a\rightarrow \infty} \int_{\gamma_a} f(z) dz = \lim_{a\rightarrow \infty} \left(\int_{-a}^a f(x) dx + \int_{|z|=a,\theta \in [0,\pi]} f(z) dz \right) = \int_{-\infty}^\infty f(x) dx$$

y hemos calculado nuestros verdaderos valores de la integral de un valor real de la función mediante el Análisis Complejo.

Answer 2

Siempre me pareció agradable cómo fácilmente uno puede calcular el $\int e^{ax}\cos bx \; dx$ $\int e^{ax}\sin bx \; dx$ por considerarlas como las componentes real e imaginaria de $\int e^{cx}\; dx$ (donde $c=a+bi$).

Answer 3

Un problema interesante es mostrar que:

Si $n$ es incluso entonces:

$$ {n \choose 0}\cos^{n}x-{n \choose 2}\cos^{n-2}x\cdot\sin^{2}x+{n \choose 4}\cos^{n-4}x\cdot\sin^{4}x-{n \choose 6}\cos^{n-6}x\cdot\sin^{6}x+...+(-1)^{n/2}{n \choose n}\sin^nx=\cos(nx)$$

Que viene desde el simple hecho de:

$$(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx$$

Simplemente escriba $(\cos x+i\sin x)^n$ usando el binomio de expansión y mirar a la parte real.

Además, si elegimos algunos valores de $x$ podemos encontrar muchos de real sumas.

Por ejemplo, tome $x=\pi/4$:

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\left[{n \choose 0}-{n \choose 2}+{n \choose 4}-{n \choose 6}+...+(-1)^{n/2}{n \choose n}\right]=\cos(n\pi/4)$$

Acabamos de encontrar una manera, el uso de número complejo, calcular:

$${n \choose 0}-{n \choose 2}+{n \choose 4}-{n \choose 6}+...+(-1)^{n/2}{n \choose n}$$

Answer 4

El valor real de la función \begin{align*} &f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ &f(x)=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots \end{align*} permite una serie representación en torno a $0$ con radio de convergencia $1$.

Aunque el denominador nunca alcanza el valor cero, el radio de convergencia es restringido a $1$. La razón son las singularidades en $\pm i$.

Answer 5

Suponga que desea encontrar las verdaderas soluciones a la ecuación diferencial $$ y" - 2 y' + 2y = 0 $$ considere la ecuación algebraica asociada $$ z^2 - 2z + 2 = 0 $$ resolver en el complejo campo: $$ z_{1,2} = 1 \pm me $$ a continuación, una base para todas las complejas soluciones es: $$ y_{1,2}(x) = \exp((1\pm i)x) = e^x e^{\pm i x} = e^x (\cos x \pm i \sen x) $$ todas las soluciones reales son: $$ y(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x $$