Cómo mostrar un $AE=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$

Question

He estado pensando acerca de este problema desde hace bastante tiempo y es incapaz de encontrar ninguna pista. También tengo problemas para subir una imagen aquí, pero espero que la pregunta es bastante clara.

Deje $$\angle B=\dfrac{\pi}{3},DE\perp AC,DE=\dfrac{\sqrt{3}}{2},CD=\dfrac{\sqrt{7}}{2},AB+BC+AC=6$$

mostrar que

$$AE=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}$$

Yo lo hice $EC=1$,$AE=x$,a continuación,$AD=\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}$, estoy tratando de usar la propiedad por el uso de la ley de los cosenos en triángulos $BDC$ $ABC$

Realmente agradezco cualquier ayuda! Muchas gracias!

Answer 1

Llame a $AE=x$. Como notado $EC=1$$AD=\sqrt { x^2 +3/4}$. Llame a $\angle BAC= \theta$. Tenemos $$\sin \theta = \frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt 3}{\sqrt{4x^2+3}}.$$ Por la ley de los senos en $ABC$ $$\frac{AC}{\sin 60}=\frac{BC}{\sin \theta}$$ y llegamos $$BC=\frac{2(x+1)}{\sqrt{4x^2+3}}.$$ Ahora calculamos el $\cos \theta=\frac{2x}{\sqrt{4x^2+3}}$ y $$\sin \angle ACB =\sin (60+\theta)=\frac{x\sqrt 3}{\sqrt{4x^2+3}}+\frac{\sqrt 3}{2\sqrt{4x^2+3}}=\frac{(2x+1)\sqrt 3}{2\sqrt{4x^2+3}}.$$ Aplicando de nuevo la ley de los senos obtenemos $$AB=\frac{(2x+1)(x+1)}{\sqrt{4x^2+3}}.$$ Finalmente somos capaces de resolver por $x$$AB+BC+CA=6$: $$x+1+\frac{(2x+1)(x+1)}{\sqrt{4x^2+3}}+\frac{2(x+1)}{\sqrt{4x^2+3}}=6$$ que simplifica (después de algo de trabajo) $$(10x-11)(x^2+1)=0$$ por lo tanto $AE=x=\frac{11}{10}$.