Significado del símbolo matemático ~

Question

Segmento de ejemplo del libro de texto:

$t=\dots$

Más útilmente, tenemos:

$t\sim n\log n$

Recuerdo que $\sim$ significa "similitud" en geometría, misma forma pero no mismo tamaño. ¿Cómo se interpreta aquí?

Answer 1

En este contexto, significa que $$\lim_{n \to \infty}\frac{t}{n\log n}=1$$ Es decir, el cociente de ambos lados tiende a $1$.

Answer 2

La respuesta de Daniel Littlewood es absolutamente correcta en este contexto. Para extender esto a la definición general (no vinculada al ejemplo en cuestión):

$$f(n) \sim g(n) \iff \lim_{n\to\infty} \left(\frac{f}{g}\right)(n) = 1$$

Answer 3

El símbolo $\sim$ no tiene un significado definido en todas las materias, pero casi siempre se usa para denotar una relación de equivalencia: una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Daniel Littlewood y anorton ya han discutido lo que significa $\sim$ en este caso, y podemos verificar que es una relación equivalente entre funciones en $\Bbb R$.

Claramente para cualquier función $f(n)$, tenemos que $f\sim f$ ya que $(f/f)(n)=1$ para todo $n$ (con salvedades sobre los ceros de $f$) y $\lim_{n\rightarrow\infty}1=1$.

También si $f\sim g$ entonces tenemos que $g\sim f$. Esto se sigue del hecho de que si $\lim_{n\rightarrow\infty}h(n)=1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}(1/h)(n)=1$. Aplicando este hecho con $h=f/g$ nos dice que $\sim$ es simétrico.

Finalmente $\sim$ es transitivo. Esto se sigue del hecho de que si $\lim_{n\rightarrow\infty}h_1(n)=1$ y $\lim_{n\rightarrow\infty}h_2(n)=1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}(h_1h_2)(n)=1$. Si tenemos que $f\sim g$ y $g\sim h$, aplicamos el hecho anterior con $h_1=f/g$ y $h_2=g/h$, y obtendrás que $f\sim h$.