Integrar: $\int\frac {1}{ \sqrt [3]{ \tan (x)}}dx$

Question

Cómo integrar $$\int\dfrac {1}{ \sqrt [3]{ \tan (x)}}dx?$$

Answer 1

Sub $u= \tan {x}$ y conseguir

$$\int du \frac {u^{-1/3}}{1+u^2}$$

Entonces sub $u=y^3$ para conseguir

$$3 \int dy \frac {y}{1+y^6} = \frac {3}{2} \int \frac {dv}{1+v^3} = \frac12 \int \frac {dv}{1+v} + \int \frac {dv}{1-v+v^2} - \frac12 \int dv \frac {v}{1-v+v^2}$$

Cada una de estas integrales puede ser evaluada a su vez.

$$\int \frac {dv}{1+v} = \log {(1+v)}$$

$$\int \frac {dv}{1-v+v^2} = \int \frac {dv}{(v-1/2)^2+3/4} = \frac {2}{ \sqrt {3}} \arctan { \frac {2 v-1}{ \sqrt {3}}}$$

$$\int dv \frac {v}{1-v+v^2} = \int dv \frac {v-1/2}{(v-1/2)^2+3/4} + \frac12 \int \frac {dv}{(v-1/2)^2+3/4} = \\\frac12 \log {[(v-1/2)^2+3/4]} + \frac {1}{ \sqrt {3}} \arctan { \frac {2 v-1}{ \sqrt {3}}}$$

Lo entiendo, al juntar todo esto,

$$\int dx \, ( \tan {x} )^{-1/3} = \frac12 \log { \frac {1+v}{1-v+v^2}} + \frac { \sqrt {3}}{2} \arctan { \frac {2 v-1}{ \sqrt {3}}} +C$$

donde $v=( \tan {x})^{-2/3}$ .