Hallar el cociente común de la progresión geométrica

Question

Dada:
Progresión geométrica Suma = $S$
Primera legislatura = $a$
número de términos = $N + 1$

$$a + aq + aq^2 + ... + aq^N = S$$

Por lo tanto, tenemos que resolver esta ecuación:

$$\sum_{i = 0}^N{q^i} = S/a$$

Necesito una fórmula para calcular la proporción común $q$ . Creo que esto es difícil de hacer, ya que tenemos que resolver la ecuación de $N$ pero esta es una ecuación especial, así que, tal vez podría haber una buena solución.

Gracias de antemano.

Answer 1

El $N$ -a suma parcial es $$S_N = a \sum_{k=0}^N q^k = \left\{ \begin{align} a\frac{q^{N+1} - 1}{q - 1}, \quad q \ne 1 \\ a (N + 1), \quad q = 1 \end{align}\right.$$

Así que dado un caso de problema $(a, S, N)$ el primer paso es tratar el caso $a = 0$ lo que implica $S=0$ . En este caso, cualquier número funcionará como valor para $q$ . Para lo que sigue suponemos $a \ne 0$ .

Si $a \ne 0$ y $S = 0$ no hay solución $q$ . Para lo que sigue suponemos $S \ne 0$ también.

Lo siguiente sería comprobar si $$S = a (N+1)$$ en este caso $q=1$ es la solución. Para lo que sigue suponemos $q \ne 1$ también, teniendo $a \ne 0$ , $S \ne 0$ , $q \ne 1$ como limitaciones.

Si todavía tenemos el caso $S = a$ Entonces, esto requeriría $q = q^{N + 1}$ , lo que habría $q = 0$ como solución y además $q = -1$ en el caso de impar $N$ .

En busca de puntos fijos

Un método sería buscar un punto fijo $q^{*}$ para $$f(q) = \frac{a}{S} q^{N+1} + 1 - \frac{a}{S}$$ que cumple con $f(q^{*}) = q^{*}$ .

Esta versión del problema original es más fácil de razonar, porque se puede tratar como el problema geométrico de la gráfica de $f(q) = u \, q^n + v$ (dos casos para exponentes pares e Impares $n$ dos casos para el factor positivo o negativo $u$ ) que cruza la línea diagonal $\mbox{id}(q) = q$ .

Para impar $N$ el exponente en $f$ es par, tenemos alguna gráfica parabólica que tiene cero, uno o dos cruces con $\mbox{id}$ y, por tanto, que muchas soluciones.

Incluso para $N$ el exponente es $f$ es impar y para $N \ge 2$ puede haber incluso una tercera solución.

Answer 2

Si el número de términos es $N + 1$ la proporción común satisface

$S=\frac{a(q^{N+1}-1)}{q-1}$

Su suma tiene $N+1$ términos.