Operador de la norma en el espacio de los productos

Question

Tengo un operador bilineal $B\colon X \times Y\to Z$ $X,Y,Z$ normativa de los espacios, y definir una norma en $X \times Y$ $\lVert(x,y)\rVert = \lVert x\rVert_X + \lVert y\rVert_Y$ (con las respectivas normas en $X,Y$). ¿La definición del operador de la norma, a continuación, generalizar a $\lVert B\rVert = \sup\{\lVert B(x,y)\rVert/\lVert(x,y)\rVert$, $(x,y) \neq 0\}$?

Razón de preguntar: en este supuesto, $B(x,y) = xy$ no parece ser un operador acotado (de decir $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$) en esta norma (o norma euclídea/ max norma para el caso), lo que contradice la continuidad (o al menos hasta ahora siempre he pensado que el producto operador fue continua!).

edit: cambiado lineal a bilineal

Answer 1

Para ampliar mi comentario:$\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$

Hay muchas maneras para equipar $X \times Y$ con una norma, la mayoría de los naturales se $\|(x,y)\| = \max{\{\|x\|,\|y\|\}}$ $\|(x,y)\| = \|x\| + \|y\|$ desde que corresponden a la categoría de producto y subproducto de las operaciones (en la categoría de Banach o normativa espacios lineales y lineales, mapas de norma $\leq 1$). Sea como sea, es un buen ejercicio para comprobar que todos los $p$-normas $\|(x,y)\|_{p} = \left(\|x\|^{p} + \|y\|^{p}\right)^{1/p}$ $X \times Y$ son equivalentes, por lo que una lineal mapa de $T: X \times Y \to Z$ es continua si y sólo si a es acotado con respecto a cualquiera de las normas con las que se puede equipar el espacio de $X \times Y$.

Tenga en cuenta que lineal significa $T(\lambda x, \lambda y) = \lambda T(x,y)$ $T(x+x',y+y') = T(x,y) + T(x',y')$ todos los $(x,y), (x',y') \in X \times Y$ y todos los $\lambda \in \mathbb{R}$.

La multiplicación no es lineal en este sentido, pero es bilineal $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Como tal, es obviamente continua y está delimitada con respecto a la norma en el bilineal mapas de $B: X \times Y \to Z$ dada por

$$\|B\| = \sup_{\|x\|,\|y\| \leq 1} \|B(x,y)\|_{Z}$$

y es un buen ejercicio para comprobar:

1. Un bilineal mapa de $B$ es continua si y sólo si a es acotado con respecto a la norma anterior. Tenga en cuenta que esto significa, simplemente, que $\|B(x,y)\|_{Z} \leq \|B\| \,\|x\|_{X} \, \|y\|_{Z}$ por bilinearity.
2. Si $Z$ es un espacio de Banach, entonces el espacio de bilineal mapas de $X \times Y \to Z$ es completa con respecto a esa norma.

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Añadido: En realidad, esta idea conduce, naturalmente, a la noción de la proyectiva del tensor de la norma.

Recordemos que un bilineal mapa de $B: X \times Y \to Z$ corresponde a una lineal mapa de $b: X \otimes Y \to Z$. Un elemento del producto tensor puede ser escrita como una suma finita $\sum x_i \otimes y_i$ y desde $b$ es lineal, tenemos $b(\sum x_i \otimes y_i) = \sum b(x_i \otimes y_i) = \sum B(x_i,y_i)$. Ahora queremos una norma en $X \otimes Y$ tal que $b$ es acotado si y sólo si $B$ está acotada. Ahora $B$ es acotado si y sólo si $B$ está delimitada en la primaria tensores, para lo cual hemos $\|B(x,y)\| \leq \|B\|\,\|x\|\,\|y\|$, por lo que la norma de $\sum x_i \otimes y_i$ $X \otimes Y$ mejor que ser comparable a $\sum \|x_i\| \, \|y_i\|$. Ahora el problema es que esto no está bien definida, debido a que un elemento de $X \otimes Y$ tiene muchas descomposiciones en sumas de primaria de los tensores. Resulta que la definición correcta de la norma de $\omega \in X \otimes Y$ es

$$\|\omega \|_{\pi} = \inf\left\{ \sum \|x_i\|_X \, \|y_i\|_{Y} \,:\, \omega = \sum x_i \otimes y_{i}\right\}$$

donde el infimum se toma sobre todos (finito) de las representaciones de $\omega = \sum x_i \otimes y_i$ como la suma de primaria de los tensores. Es bastante obvio que $\|\cdot\|_{\pi}$ es un semi-norma en $X \otimes Y$ satisfacción $\|x \otimes y\|_{\pi} \leq \|x\|_{X} \|y\|_{Y}$. Un poco más de trabajo muestra que en realidad $\|x \otimes y\|_{\pi} = \|x\|_{X} \|y\|_{Y}$ y $\| \cdot \|_{\pi}$ es una norma. Por otra parte, uno puede comprobar que $\|B\| = \|b\|$, cuando el último se calcula como operador de la norma en $X \otimes Y$ con respecto al $\|\cdot \|_{\pi}$. Esto nos da un bijection $$\text{Bil} (X,Y;Z) = \text{Hom}(X \otimes Y, Z)$$ entre los espacios de limitada bilineal mapas de $X \times Y \to Z$ y delimitada lineal mapas de $X \otimes Y \to Z$. Ahora si $X,Y$ pasan a ser espacios de Banach, a continuación, $X \otimes Y$ ya no es un espacio de Banach, en general, por lo que podemos simplemente complete y escribimos $X \widehat{\otimes} Y$ este finalización. Combinando esto con la observación hecha por la Marca en su respuesta, se obtiene la (isométrica) correspondencias $$\Hom{(X \widehat{\otimes} Y, Z)} = \text{Bil}(X,Y;Z) = \Hom(X,\Hom(Y,Z))$$ que sabemos bien de álgebra lineal. Instalamos todos los $\Hom$-espacios con sus naturales operador de normas y el espacio $\text{Bil}$ con la norma he definido anteriormente.

Answer 2

Una transformación bilineal $B: X \times Y \to Z$ (normativa espacios) es continua si y sólo si $\left\Vert B\left(x,y\right)\right\Vert \le C\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert $ todos los $x \in X, y \in Y$ donde $C$ es alguna constante positiva. El infimum sobre tales $C$ da una norma en el espacio vectorial de transformación bilineal $X \times Y \to Z$. Un muy elegante manera de ver esto es la siguiente:

Una transformación bilineal $B: X \times Y \to Z$ es lo mismo que una transformación lineal $X\to\mathcal{L}\left(Y,Z\right)$. Usted puede tomar el operador de la norma en $\mathcal{L}\left(Y,Z\right)$ y preguntar si $x\mapsto\left[y\mapsto B\left(x,y\right)\right]$ es entonces un bien definido continua transformación (tenga en cuenta que fija $x \in X$, el mapa de $y \mapsto B(x,y)$ no es a priori continua, es decir, en $\mathcal{L}\left(Y,Z\right)$). Esto es cierto si y sólo si $B$ es continua y, a continuación, el operador de la norma de esta transformación será el óptimo $C$ antes mencionado.

Answer 3

$B(x,y)=xy$ no es un operador LINEAL de$\Bbb{R}^2$$\Bbb{R}$, aunque es continua. Usted puede encontrar fácil contraejemplos para esto ($B(1,1), B(2,2)$).

La norma de un operador lineal depende sólo de la norma de los espacios donde el operador está definido. Si una función continua no es acotado, entonces seguramente no es lineal, ya que para los operadores lineales de la continuidad y de acotamiento son equivalentes los conceptos.