Considere la integral de contorno $\int_{C(R)} e^{-z^3}\, dz$ donde $C(R)$ es el límite de un sector de cuarto de círculo de radio de $R$ en el primer cuadrante (centrado en el origen), subtendido por el ángulo de $\pi/6$, y la orientación es hacia la izquierda. Mostrar que la integral de $e^{-z^3}$ a lo largo del arco del sector tiende a $0$$R\to \infty$.
Desde $e^{-z^3}$ es todo, $\int_{C(R)} e^{-z^3}\, dz = 0$ del teorema de Cauchy. Como
$$\int_{C(R)} e^{-z^3}\, dz = \int_0^R e^{-r^3}\, dr + \int_{\text{Arc}} e^{-z^3}\, dz - \int_0^{R} e^{-(re^{i\pi/6})^3}\, e^{i\pi/6}\, dr,$$
tomando el límite cuando $R\to \infty$ rendimientos
$$0 = \int_0^\infty e^{-r^3}\, dx -\int_0^\infty e^{-(re^{i\pi/6})^3}e^{i\pi/6}\, dz$$
o
$$\int_0^\infty e^{-i(r^3-i\pi/6)}\, dr = \int_0^\infty e^{-r^3}\, dr$$
El uso de la identidad de Euler $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$, podemos escribir
$$\int_0^\infty [\cos(r^3 - \pi/6) + i\sin(r^3 - \pi/6)]\, dr = \int_0^\infty e^{-r^3}\, dr.$$
Así
$$\int_0^\infty \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(r^3) + \frac{1}{{2}}\sin(r^3)\right]\, dr + i\int_0^\infty \left[-\frac{1}{2}\cos(r^3) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(r^3)\right]\, dr=\Gamma\left(\frac{4}{3}\right), $$
el uso de la resta fórmulas para el seno y coseno, así como la evaluación de la $\int_0^\infty e^{-r^3}\, dr = \Gamma(4/3)$. Tomando partes real e imaginaria, se obtiene un sistema de ecuaciones
\begin{align}
\frac{\sqrt{3}}{2}A + \frac{1}{2}B &= \Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\\
-\frac{1}{2}A + \frac{\sqrt{3}}{2}B &= 0
\end{align}
donde$A = \int_0^\infty \cos(r^3)\, dr$$B = \int_0^\infty \sin(r^3)\, dr$. La solución es
$$(A,B) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right), \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\right).$$ Así, en particular,
$$B = \int_0^\infty \sin(r^3)\, dr = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right).$$
