La pregunta es un poco mal planteado, ya que uno puede venir para arriba con varios límites, no sólo uno, y no está claro cuál es el que usted estará satisfecho con. En general, uno se busca los límites de tener propiedades específicas (de entre todos los posibles límites), que permite además la construcción de un determinado razonamiento. No se especifica qué tipo de razonamiento desea que el obligado a habilitar.
Como usted ha descubierto, tratando de encontrar una fórmula general para $a_{n,0}$ en términos de $a_{1,\ldots}$ no es fácil en absoluto. Afortunadamente, usted quiere un límite superior, no un valor exacto, por lo que cuando trabajo con igualdades resulta ser demasiado difícil, vamos a sustituirlos por las desigualdades, la obtención de un resultado más débil, pero aún satisfactoria.
Partiendo de la fórmula que dar, inmediatamente uno se va un paso atrás para
$$a_{k,m} \le \frac 1 {(m+1)(m+2)} a_{k-2,m+2} + \left( \frac 1 {(m+1)(m+2)} + \frac 1 {(m+1)(m+3)} \right) L a_{k-2,m+3} + \frac 1 {(m+1)(m+3)} L^2 a_{k-2,m+4}$$
que es muy feo y es, probablemente, donde se quedó atascado. El truco consiste en reemplazar cada fracción con la fracción más grande $\dfrac 1 {(m+1)^2}$, obteniendo así (tenga en cuenta que el término medio contiene dos fracciones)
$$a_{k,m} \le \frac 1 {(m+1)^2} \left( a_{k-2,m+2} + 2 L a_{k-2,m+3} + L^2 a_{k-2,m+4} \right) .$$
Tenga en cuenta que la cantidad entre corchetes nos recuerda de Newton del binomio; también, tenga en cuenta que cuando usted suma de ambos índices de $a$, se obtiene $k+m$, $k+m+1$ y $k+m+2$. Esto nos hace sospechar que después de la marcha atrás, la expresión final (la que implica sólo a términos como"$a_{1,\ldots}$) se verá como
$$a_{k,m} \le \frac 1 {(m+1)^{k-1}} \left( \binom {k-1} 0 a_{1,k+m-1} + \binom {k-1} 1 L a_{1,k+m} + \binom {k-1} 2 L^2 a_{1,k+m+1} + \dots + \binom {k-1} {k-1} L^{k-1} a_{1,k+m-1 + k-1} \right) .$$
Con el fin de deshacerse de la $a_{1,\ldots}$ utilizaremos $a_{1,n} \le \dfrac 1 {n+1}$. Esto es bueno, pero todavía nos dan un feo resultado, por lo tanto vamos a utilizar uno más límite superior para todos en estos términos: $a_{1,k+m+i} \le \dfrac 1 {k+m} \ \forall 0 \le i \le k-1$. El uso de $\sum \limits _{i=0} ^{k-1} \binom {k-1} i L^i = (1+L)^{k-1}$ nos permitirá, finalmente, se escribe
$$\color{blue} {a_{k,m} \le \frac 1 {(m+1)^{k-1}} \frac 1 {k+m} (1+L)^{k-1}} .$$
Por supuesto, adivinando que es sólo una parte de la solución. Permita la utilización de la inducción en $k$ también muestran que nuestra suposición es correcta.
Para $k=1$ obtenemos $a_{1,m} \le \frac 1 {m+1}$ que es precisamente lo que el problema se supone.
Supongamos que el anterior adivinar cierto para $k$ y vamos a demostrar que para $k+1$. El uso de la recursividad dada por el problema,
$$a_{k+1, m} \le \frac 1 {m+1} \left( a_{k,m+1} + L a_{k,m+2} \right) \le \frac 1 {m+1} \left( \frac 1 {(m+2)^{k-1}} \frac 1 {k+m+1} (1+L)^{k-1} + L \frac 1 {(m+3)^{k-1}}\frac 1 {k+m+2} (1+L)^{k-1} \right) .$$
Usando ese $\dfrac 1 {m+2}, \dfrac 1 {m+3} \le \dfrac 1 {m+1}$ y $\dfrac 1 {k+m+2} \le \dfrac 1 {k+m+1}$ hace que el último término de arriba
$$\le \frac 1 {(m+1)^k} \frac 1 {k+m+1} (1+L)^k$$
que es, precisamente, la hipótesis de inducción para $k+1$ en lugar de $k$.
Finalmente, teniendo en $k=n$ $m=0$ da $\color{red} {a_{n,0} \le \dfrac 1 n (1+L)^{n-1}}$.
Si usted fuera lo suficientemente paciente para seguir los anteriores cálculos se ha observado que en varios momentos hemos sacrificado igualdades y utilizado límites superior en su lugar. Esto significa que este límite superior que hemos obtenido no es el mejor, pero tiene la ventaja de que se tiene la formulación más sencilla, permitiendo que usted utilice. Mejor de límites superiores son posibles, pero más feo y por lo tanto difícil de utilizar en las aplicaciones.
