$\def\fA{\mathfrak{A}}\def\cO{\mathcal{S}}$En esta respuesta nos mostrará que $\fA$ no contener la identidad de la función $z \mapsto z$. Como ya se ha esbozado en mi comentario anterior, esto implica que $\fA$ no contiene ninguna función que tiene un finito, pero no cero, el número de ceros.
La clave es una de 1897 teorema de Borel debido a la singularidad de las representaciones de la forma anterior. Una buena moderno de referencia es el Capítulo VII, en Lang, Introducción a la Compleja Hiperbólico Espacios.
Definir una relación de equivalencia en $\cO$ por $f \sim g$ ffi $f-g$ es la función constante. Suponga que $\sum_{i=1}^n \exp(f_i) = 0$ para $f_1$, $f_2$, ..., $f_n \en \cO$. Partición de $\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}$ en clases de equivalencia. A continuación, Borel del resultado (Teorema 1.1 en Lang) dice que, para cada clase de equivalencia de $S$, tenemos $\sum_{f_i \S} \exp(f_i)=0$. Puesto que cada clase de equivalencia es de la forma $(h+c_1, h+c_2, \dots, h+c_k)$ $h \in \cO$ y algunas constantes de $c_1$, ..., $c_k$, esto es decir que, en esencia, la única solución para $\sum \exp(f_i)=0$ es buscar en $\sum \exp(h+c_i)$ donde $\sum \exp(c_i)=0$. En particular, no hay singleton de clases de equivalencia.
Permítanos replantear Borel del teorema. Digamos que una suma de $\sum \exp(f_i)$ es en forma reducida si no hay dos $f_i$ son equivalentes. Siempre podemos poner cualquier suma en forma reducida mediante la sustitución de $\exp(h+c_1)+\exp(h+c_2)$ $\exp(h+\log(e^{c_1}+e^{c_2}))$ si $e^{c_1}+e^{c_2} \neq 0$, o por el vacío de la suma si $e^{c_1}+e^{c_2}=0$.
Teorema Si $\sum_{a=1}^m \exp(f_a) = \sum_{b=1}^n \exp(g_b)$ con ambas sumas en
forma reducida, entonces $m=n$ y el $f_a$ y $g_b$ son de la misma hasta permutación
y añadiendo entero múltiplo de $2 \pi i$.
Prueba: Partición de $\{ f_1, \ldots, f_m, g_1+i \pi, \ldots, g_n+i \pi \}$ en clases de equivalencia. Por la hipótesis de que las sumas son en forma reducida, no hay equivalencia clase contiene dos $f_a$'s, o los dos $g_b$s'.
Tenga en cuenta que $\sum \exp(f_a) + \sum \exp(g_b + \pi i)=0$. Por Borel del teorema, ninguna clase de equivalencia es un singleton. Así que todas las clases de equivalencia son de la forma $\{ f_a, g_b \}$. En particular, $m=$ n, y hay algunos permutación $\sigma$ y algunas constantes de $c_a$ tales que $g_{\sigma(un)} +i \pi = f_a + c_a$. Ahora, Borel del teorema además nos dice que $\exp(i \pi) + \exp(c_a)=0$. Por lo que $c_a$ es un número entero múltiplo de $2 \pi i$. $\square$
Ahora vamos a usar este teorema para demostrar que $z \no \en \fA$. Supongamos que por el bien de la contradicción que $z = \sum_{a=1}^n \exp(f_a(z))$, y asumir que la suma está en forma reducida.
Entonces, para cualquier valor distinto de cero constante $h$, tenemos
$$\sum_{a=1}^n \exp(f_a(z))+\exp(\log h) = z+h = \sum_{a=1}^n \exp(f_a(z+h)).$$
El lado derecho está en forma reducida. Si ninguno de los $f_a$ son constantes, entonces el lado izquierdo está en forma reducida, y tenemos una reducción de la suma de $n+1$ términos equivale a una reducción de la suma de $n$, una contradicción. Si uno de los $f_a$ es una constante, cancelar el término de ambos lados y volver a llegar a una contradicción.
Comentario Como mis comentarios mostrar por encima, esto descarta cualquier función con un número finito de ceros. Creo que también debería descartar cosas como $f(z) = z(2^z+3^z)$, teniendo en cuenta la relación $$f(z+2) - 5 f(z+1) + 6 f(z) = 3 \cdot 3^{z} - 2 \cdot 2^z.$$
Sin embargo, no tengo un buen criterio para cuando una función está en $\fA$.
Comentario Elige una función de cada clase de equivalencia. A continuación, Borel del teorema muestra que $\fA$ es el $\mathbb{C}$ vectores de espacio en el exponenciales de estos representantes. Como un anillo, $\fA$ es el grupo de álgebra de la abelian grupo $\cO^+/\mathbb{C} \cdot 1$, donde $\cO^+$ significa que el grupo aditivo de el anillo $\cO$.
Comentario en cuenta que $\fA$ no es cerrado bajo la natural limitación de las operaciones. Por ejemplo, para cualquier $h \neq 0$, la función $z \mapsto \frac{e^{hz}-1}{h}$ es $\fA$. Pero $\lim_{h \to 0} \frac{e^{hz}-1}{h} = z$ es no, aunque el límite es uniforme en compactos de subconjuntos.
